Theorem axlowdim1 28886

Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 28887. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axlowdim1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11174	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6750	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3		elee 28821	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	5	fconst6 6750	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7		elee 28821	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
8	6, 7	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9		ax-1ne0 11137	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
10	9	neii 2927	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
11		1ex 11170	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
12	11	sneqr 4804	. . . . . 6 ⊢ ({1} = {0} → 1 = 0)
13	10, 12	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ {1} = {0}
14		elnnuz 12837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
15		eluzfz1 13492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
16	14, 15	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
17	16	ne0d 4305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
18		rnxp 6143	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
20		rnxp 6143	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
21	17, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
22	19, 21	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
23	13, 22	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
24		rneq 5900	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
25	23, 24	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
26	25	neqned 2932	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
27		neeq1 2987	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
28		neeq2 2988	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
29	27, 28	rspc2ev 3601	. 2 ⊢ ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 8, 26, 29	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ∅c0 4296  {csn 4589   × cxp 5636  ran crn 5639  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ℕcn 12186  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  𝔼cee 28815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-ee 28818

This theorem is referenced by:  btwndiff  36015