Theorem axlowdim1 28974

Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 28975. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axlowdim1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11261	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6798	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3		elee 28909	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	5	fconst6 6798	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7		elee 28909	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
8	6, 7	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9		ax-1ne0 11224	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
10	9	neii 2942	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
11		1ex 11257	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
12	11	sneqr 4840	. . . . . 6 ⊢ ({1} = {0} → 1 = 0)
13	10, 12	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ {1} = {0}
14		elnnuz 12922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
15		eluzfz1 13571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
16	14, 15	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
17	16	ne0d 4342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
18		rnxp 6190	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
20		rnxp 6190	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
21	17, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
22	19, 21	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
23	13, 22	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
24		rneq 5947	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
25	23, 24	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
26	25	neqned 2947	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
27		neeq1 3003	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
28		neeq2 3004	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
29	27, 28	rspc2ev 3635	. 2 ⊢ ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 8, 26, 29	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  ∅c0 4333  {csn 4626   × cxp 5683  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ℕcn 12266  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  𝔼cee 28903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-ee 28906

This theorem is referenced by:  btwndiff  36028