Theorem axlowdim1 28992

Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 28993. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axlowdim1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11290	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6811	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3		elee 28927	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	5	fconst6 6811	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7		elee 28927	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
8	6, 7	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9		ax-1ne0 11253	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
10	9	neii 2948	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
11		1ex 11286	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
12	11	sneqr 4865	. . . . . 6 ⊢ ({1} = {0} → 1 = 0)
13	10, 12	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ {1} = {0}
14		elnnuz 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
15		eluzfz1 13591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
16	14, 15	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
17	16	ne0d 4365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
18		rnxp 6201	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
20		rnxp 6201	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
21	17, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
22	19, 21	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
23	13, 22	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
24		rneq 5961	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
25	23, 24	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
26	25	neqned 2953	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
27		neeq1 3009	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
28		neeq2 3010	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
29	27, 28	rspc2ev 3648	. 2 ⊢ ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 8, 26, 29	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  ∅c0 4352  {csn 4648   × cxp 5698  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ℕcn 12293  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  𝔼cee 28921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-ee 28924

This theorem is referenced by:  btwndiff  35991