MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdim1 28485
Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 28486. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdim1 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘)βˆƒπ‘¦ ∈ (π”Όβ€˜π‘)π‘₯ β‰  𝑦)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1
StepHypRef Expression
1 1re 11219 . . . 4 1 ∈ ℝ
21fconst6 6781 . . 3 ((1...𝑁) Γ— {1}):(1...𝑁)βŸΆβ„
3 elee 28420 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) Γ— {1}) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ ((1...𝑁) Γ— {1}):(1...𝑁)βŸΆβ„))
42, 3mpbiri 258 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1...𝑁) Γ— {1}) ∈ (π”Όβ€˜π‘))
5 0re 11221 . . . 4 0 ∈ ℝ
65fconst6 6781 . . 3 ((1...𝑁) Γ— {0}):(1...𝑁)βŸΆβ„
7 elee 28420 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) Γ— {0}) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ ((1...𝑁) Γ— {0}):(1...𝑁)βŸΆβ„))
86, 7mpbiri 258 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1...𝑁) Γ— {0}) ∈ (π”Όβ€˜π‘))
9 ax-1ne0 11182 . . . . . . 7 1 β‰  0
109neii 2941 . . . . . 6 Β¬ 1 = 0
11 1ex 11215 . . . . . . 7 1 ∈ V
1211sneqr 4841 . . . . . 6 ({1} = {0} β†’ 1 = 0)
1310, 12mto 196 . . . . 5 Β¬ {1} = {0}
14 elnnuz 12871 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
15 eluzfz1 13513 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
1614, 15sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ (1...𝑁))
1716ne0d 4335 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) β‰  βˆ…)
18 rnxp 6169 . . . . . . 7 ((1...𝑁) β‰  βˆ… β†’ ran ((1...𝑁) Γ— {1}) = {1})
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ran ((1...𝑁) Γ— {1}) = {1})
20 rnxp 6169 . . . . . . 7 ((1...𝑁) β‰  βˆ… β†’ ran ((1...𝑁) Γ— {0}) = {0})
2117, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ran ((1...𝑁) Γ— {0}) = {0})
2219, 21eqeq12d 2747 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (ran ((1...𝑁) Γ— {1}) = ran ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ {1} = {0}))
2313, 22mtbiri 327 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ ran ((1...𝑁) Γ— {1}) = ran ((1...𝑁) Γ— {0}))
24 rneq 5935 . . . 4 (((1...𝑁) Γ— {1}) = ((1...𝑁) Γ— {0}) β†’ ran ((1...𝑁) Γ— {1}) = ran ((1...𝑁) Γ— {0}))
2523, 24nsyl 140 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ ((1...𝑁) Γ— {1}) = ((1...𝑁) Γ— {0}))
2625neqned 2946 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1...𝑁) Γ— {1}) β‰  ((1...𝑁) Γ— {0}))
27 neeq1 3002 . . 3 (π‘₯ = ((1...𝑁) Γ— {1}) β†’ (π‘₯ β‰  𝑦 ↔ ((1...𝑁) Γ— {1}) β‰  𝑦))
28 neeq2 3003 . . 3 (𝑦 = ((1...𝑁) Γ— {0}) β†’ (((1...𝑁) Γ— {1}) β‰  𝑦 ↔ ((1...𝑁) Γ— {1}) β‰  ((1...𝑁) Γ— {0})))
2927, 28rspc2ev 3624 . 2 ((((1...𝑁) Γ— {1}) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ ((1...𝑁) Γ— {0}) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ ((1...𝑁) Γ— {1}) β‰  ((1...𝑁) Γ— {0})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘)βˆƒπ‘¦ ∈ (π”Όβ€˜π‘)π‘₯ β‰  𝑦)
304, 8, 26, 29syl3anc 1370 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘)βˆƒπ‘¦ ∈ (π”Όβ€˜π‘)π‘₯ β‰  𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  βˆ…c0 4322  {csn 4628   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114  β„•cn 12217  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  π”Όcee 28414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-ee 28417
This theorem is referenced by:  btwndiff  35304
  Copyright terms: Public domain W3C validator