Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdim1 26837
 Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 26838. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdim1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1
StepHypRef Expression
1 1re 10664 . . . 4 1 ∈ ℝ
21fconst6 6547 . . 3 ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3 elee 26772 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
42, 3mpbiri 261 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5 0re 10666 . . . 4 0 ∈ ℝ
65fconst6 6547 . . 3 ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7 elee 26772 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
86, 7mpbiri 261 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9 ax-1ne0 10629 . . . . . . 7 1 ≠ 0
109neii 2951 . . . . . 6 ¬ 1 = 0
11 1ex 10660 . . . . . . 7 1 ∈ V
1211sneqr 4721 . . . . . 6 ({1} = {0} → 1 = 0)
1310, 12mto 200 . . . . 5 ¬ {1} = {0}
14 elnnuz 12307 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
15 eluzfz1 12948 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
1614, 15sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
1716ne0d 4230 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
18 rnxp 5992 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
20 rnxp 5992 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2117, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2219, 21eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
2313, 22mtbiri 331 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
24 rneq 5770 . . . 4 (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
2523, 24nsyl 142 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
2625neqned 2956 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
27 neeq1 3011 . . 3 (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
28 neeq2 3012 . . 3 (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
2927, 28rspc2ev 3551 . 2 ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
304, 8, 26, 29syl3anc 1369 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ∃wrex 3069  ∅c0 4221  {csn 4515   × cxp 5515  ran crn 5518  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561  ℕcn 11659  ℤ≥cuz 12267  ...cfz 12924  𝔼cee 26766 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-ee 26769 This theorem is referenced by:  btwndiff  33863
 Copyright terms: Public domain W3C validator