Theorem axlowdim1 29542

Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 29543. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axlowdim1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11311	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6772	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3		elee 29476	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5		0re 11313	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	5	fconst6 6772	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7		elee 29476	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
8	6, 7	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9		ax-1ne0 11272	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
10	9	neii 2957	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
11		1ex 11306	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
12	11	sneqr 4794	. . . . . 6 ⊢ ({1} = {0} → 1 = 0)
13	10, 12	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ {1} = {0}
14		elnnuz 13008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
15		eluzfz1 13667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
16	14, 15	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
17	16	ne0d 4287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
18		rnxp 6161	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
20		rnxp 6161	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
21	17, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
22	19, 21	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
23	13, 22	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
24		rneq 5917	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
25	23, 24	nsyl 141	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
26	25	neqned 2962	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
27		neeq1 3017	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
28		neeq2 3018	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
29	27, 28	rspc2ev 3588	. 2 ⊢ ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 8, 26, 29	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  {csn 4584   × cxp 5648  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  ℕcn 12338  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  𝔼cee 29470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-ee 29473

This theorem is used by:  btwndiff  36884