MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdim1 28206
Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 28207. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
axlowdim1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1
StepHypRef Expression
1 1re 11210 . . . 4 1 ∈ ℝ
21fconst6 6778 . . 3 ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3 elee 28141 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
42, 3mpbiri 257 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5 0re 11212 . . . 4 0 ∈ ℝ
65fconst6 6778 . . 3 ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7 elee 28141 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
86, 7mpbiri 257 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9 ax-1ne0 11175 . . . . . . 7 1 ≠ 0
109neii 2942 . . . . . 6 ¬ 1 = 0
11 1ex 11206 . . . . . . 7 1 ∈ V
1211sneqr 4840 . . . . . 6 ({1} = {0} → 1 = 0)
1310, 12mto 196 . . . . 5 ¬ {1} = {0}
14 elnnuz 12862 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
15 eluzfz1 13504 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
1614, 15sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
1716ne0d 4334 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
18 rnxp 6166 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
20 rnxp 6166 . . . . . . 7 ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2117, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
2219, 21eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
2313, 22mtbiri 326 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
24 rneq 5933 . . . 4 (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
2523, 24nsyl 140 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
2625neqned 2947 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
27 neeq1 3003 . . 3 (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
28 neeq2 3004 . . 3 (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
2927, 28rspc2ev 3623 . 2 ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
304, 8, 26, 29syl3anc 1371 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  c0 4321  {csn 4627   × cxp 5673  ran crn 5676  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  cn 12208  cuz 12818  ...cfz 13480  𝔼cee 28135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-ee 28138
This theorem is referenced by:  btwndiff  34987
  Copyright terms: Public domain W3C validator