Theorem axlowdim1 27230

Description: The lower dimension axiom for one dimension. In any dimension, there are at least two distinct points. Theorem 3.13 of [Schwabhauser] p. 32, where it is derived from axlowdim2 27231. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axlowdim1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁,𝑦

Proof of Theorem axlowdim1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	fconst6 6648	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ
3		elee 27165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {1}):(1...𝑁)⟶ℝ))
4	2, 3	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁))
5		0re 10908	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	5	fconst6 6648	. . 3 ⊢ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ
7		elee 27165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ((1...𝑁) × {0}):(1...𝑁)⟶ℝ))
8	6, 7	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁))
9		ax-1ne0 10871	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
10	9	neii 2944	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = 0
11		1ex 10902	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
12	11	sneqr 4768	. . . . . 6 ⊢ ({1} = {0} → 1 = 0)
13	10, 12	mto 196	. . . . 5 ⊢ ¬ {1} = {0}
14		elnnuz 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
15		eluzfz1 13192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
16	14, 15	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
17	16	ne0d 4266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ≠ ∅)
18		rnxp 6062	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {1}) = {1})
20		rnxp 6062	. . . . . . 7 ⊢ ((1...𝑁) ≠ ∅ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
21	17, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ran ((1...𝑁) × {0}) = {0})
22	19, 21	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}) ↔ {1} = {0}))
23	13, 22	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
24		rneq 5834	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}) → ran ((1...𝑁) × {1}) = ran ((1...𝑁) × {0}))
25	23, 24	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ ((1...𝑁) × {1}) = ((1...𝑁) × {0}))
26	25	neqned 2949	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0}))
27		neeq1 3005	. . 3 ⊢ (𝑥 = ((1...𝑁) × {1}) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦))
28		neeq2 3006	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((1...𝑁) × {0}) → (((1...𝑁) × {1}) ≠ 𝑦 ↔ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})))
29	27, 28	rspc2ev 3564	. 2 ⊢ ((((1...𝑁) × {1}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {1}) ≠ ((1...𝑁) × {0})) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)
30	4, 8, 26, 29	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ∅c0 4253  {csn 4558   × cxp 5578  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ℕcn 11903  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  𝔼cee 27159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-ee 27162

This theorem is referenced by:  btwndiff  34256