MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sectss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sectss 17643
Description: The section relation is a relation between morphisms from ๐‘‹ to ๐‘Œ and morphisms from ๐‘Œ to ๐‘‹. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
issect.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
issect.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
issect.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
issect.s ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
issect.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
issect.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
issect.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
sectss (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐‘†๐‘Œ) โŠ† ((๐‘‹๐ป๐‘Œ) ร— (๐‘Œ๐ป๐‘‹)))

Proof of Theorem sectss
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issect.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 issect.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 issect.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 issect.i . . 3 1 = (Idโ€˜๐ถ)
5 issect.s . . 3 ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
6 issect.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
7 issect.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 issect.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8sectfval 17642 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐‘†๐‘Œ) = {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))})
10 opabssxp 5728 . 2 {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))} โŠ† ((๐‘‹๐ป๐‘Œ) ร— (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
119, 10eqsstrdi 4002 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐‘†๐‘Œ) โŠ† ((๐‘‹๐ป๐‘Œ) ร— (๐‘Œ๐ป๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3914  โŸจcop 4596  {copab 5171   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  Hom chom 17152  compcco 17153  Catccat 17552  Idccid 17553  Sectcsect 17635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-sect 17638
This theorem is referenced by:  isinv  17651  invss  17652  oppcsect2  17670  oppcinv  17671
  Copyright terms: Public domain W3C validator