Theorem oppcsect2 17803

Description: A section in the opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
oppcsect.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppcsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
oppcsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
oppcsect.s	⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
oppcsect.t	⊢ 𝑇 = (Sect‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oppcsect2	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑇𝑌) = ◡(𝑋𝑆𝑌))

Proof of Theorem oppcsect2

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcsect.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2		oppcsect.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17741	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝑂) = (Hom ‘𝑂)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (comp‘𝑂) = (comp‘𝑂)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑂) = (Id‘𝑂)
7		oppcsect.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (Sect‘𝑂)
8		oppcsect.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	1	oppccat 17745	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
11		oppcsect.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		oppcsect.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12	sectss 17776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑇𝑌) ⊆ ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋)))
14		relxp 5661	. . 3 ⊢ Rel ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋))
15		relss 5750	. . 3 ⊢ ((𝑋𝑇𝑌) ⊆ ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋)) → (Rel ((𝑋(Hom ‘𝑂)𝑌) × (𝑌(Hom ‘𝑂)𝑋)) → Rel (𝑋𝑇𝑌)))
16	13, 14, 15	mpisyl 21	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑋𝑇𝑌))
17		relcnv 6089	. . 3 ⊢ Rel ◡(𝑋𝑆𝑌)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel ◡(𝑋𝑆𝑌))
19		oppcsect.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sect‘𝐶)
20	2, 1, 8, 11, 12, 19, 7	oppcsect 17802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝑋𝑇𝑌)𝑔 ↔ 𝑔(𝑋𝑆𝑌)𝑓))
21		vex 3457	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
22		vex 3457	. . . 4 ⊢ 𝑔 ∈ V
23	21, 22	brcnv 5850	. . 3 ⊢ (𝑓◡(𝑋𝑆𝑌)𝑔 ↔ 𝑔(𝑋𝑆𝑌)𝑓)
24	20, 23	bitr4di 291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓(𝑋𝑇𝑌)𝑔 ↔ 𝑓◡(𝑋𝑆𝑌)𝑔))
25	16, 18, 24	eqbrrdv 5761	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑇𝑌) = ◡(𝑋𝑆𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097   × cxp 5641  ^◡ccnv 5642  Rel wrel 5648  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  Hom chom 17288  compcco 17289  Catccat 17687  Idccid 17688  oppCatcoppc 17734  Sectcsect 17768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-hom 17301  df-cco 17302  df-cat 17691  df-cid 17692  df-oppc 17735  df-sect 17771

This theorem is referenced by:  oppcinv  17804