MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invss 17708
Description: The inverse relation is a relation between morphisms 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ and their inverses 𝐺:π‘ŒβŸΆπ‘‹. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
invfval.n 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
invfval.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
invfval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
invfval.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
invss.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
invss (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘π‘Œ) βŠ† ((π‘‹π»π‘Œ) Γ— (π‘Œπ»π‘‹)))

Proof of Theorem invss
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 invfval.n . . . 4 𝑁 = (Invβ€˜πΆ)
3 invfval.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 invfval.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 eqid 2733 . . . 4 (Sectβ€˜πΆ) = (Sectβ€˜πΆ)
71, 2, 3, 4, 5, 6invfval 17706 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘π‘Œ) = ((𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ) ∩ β—‘(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)))
8 inss1 4229 . . 3 ((𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ) ∩ β—‘(π‘Œ(Sectβ€˜πΆ)𝑋)) βŠ† (𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ)
97, 8eqsstrdi 4037 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘π‘Œ) βŠ† (𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ))
10 invss.h . . 3 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
11 eqid 2733 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
12 eqid 2733 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
131, 10, 11, 12, 6, 3, 4, 5sectss 17699 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋(Sectβ€˜πΆ)π‘Œ) βŠ† ((π‘‹π»π‘Œ) Γ— (π‘Œπ»π‘‹)))
149, 13sstrd 3993 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π‘π‘Œ) βŠ† ((π‘‹π»π‘Œ) Γ— (π‘Œπ»π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609  Sectcsect 17691  Invcinv 17692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-sect 17694  df-inv 17695
This theorem is referenced by:  invsym2  17710  invfun  17711  isohom  17723  invfuc  17927
  Copyright terms: Public domain W3C validator