Theorem invss 17945

Description: The inverse relation is a relation between morphisms 𝐹:𝑋⟶𝑌 and their inverses 𝐺:𝑌⟶𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invss.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
invss	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))

Proof of Theorem invss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invfval 17943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋(Sect‘𝐶)𝑌) ∩ ◡(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)))
8		inss1 4132	. . 3 ⊢ ((𝑋(Sect‘𝐶)𝑌) ∩ ◡(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)) ⊆ (𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)
9	7, 8	eqsstrdi 3953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑋(Sect‘𝐶)𝑌))
10		invss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13	1, 10, 11, 12, 6, 3, 4, 5	sectss 17936	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Sect‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
14	9, 13	sstrd 3919	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  Hom chom 17448  compcco 17449  Catccat 17847  Idccid 17848  Sectcsect 17928  Invcinv 17929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-sect 17931  df-inv 17932

This theorem is used by:  invsym2  17947  invfun  17948  isohom  17960  invfuc  18161