Theorem invss 17676

Description: The inverse relation is a relation between morphisms 𝐹:𝑋⟶𝑌 and their inverses 𝐺:𝑌⟶𝑋. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
invfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n	⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
invss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
invss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
invss.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
invss	⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))

Proof of Theorem invss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		invfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3		invfval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		invss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		invss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	invfval 17674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) = ((𝑋(Sect‘𝐶)𝑌) ∩ ◡(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)))
8		inss1 4186	. . 3 ⊢ ((𝑋(Sect‘𝐶)𝑌) ∩ ◡(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)) ⊆ (𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)
9	7, 8	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) ⊆ (𝑋(Sect‘𝐶)𝑌))
10		invss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
13	1, 10, 11, 12, 6, 3, 4, 5	sectss 17667	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Sect‘𝐶)𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))
14	9, 13	sstrd 3941	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌) ⊆ ((𝑋𝐻𝑌) × (𝑌𝐻𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  Hom chom 17179  compcco 17180  Catccat 17578  Idccid 17579  Sectcsect 17659  Invcinv 17660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-sect 17662  df-inv 17663

This theorem is referenced by:  invsym2  17678  invfun  17679  isohom  17691  invfuc  17892