MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sectfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sectfval 17697
Description: Value of the section relation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
issect.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
issect.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
issect.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
issect.s ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
issect.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
issect.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
issect.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
sectfval (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐‘†๐‘Œ) = {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))})
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”, 1   ๐ถ,๐‘“,๐‘”   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”   ๐‘“,๐ป,๐‘”   ยท ,๐‘“,๐‘”   ๐‘“,๐‘‹,๐‘”   ๐‘“,๐‘Œ,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”)   ๐‘†(๐‘“,๐‘”)

Proof of Theorem sectfval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issect.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 issect.h . . 3 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 issect.o . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 issect.i . . 3 1 = (Idโ€˜๐ถ)
5 issect.s . . 3 ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
6 issect.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
7 issect.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7sectffval 17696 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต, ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))}))
9 simprl 769 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
10 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
119, 10oveq12d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
1211eleq2d 2819 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โ†” ๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ)))
1310, 9oveq12d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ) = (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
1413eleq2d 2819 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ) โ†” ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)))
1512, 14anbi12d 631 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โ†” (๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹))))
169, 10opeq12d 4881 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ = โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ)
1716, 9oveq12d 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ) = (โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹))
1817oveqd 7425 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“))
199fveq2d 6895 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ( 1 โ€˜๐‘ฅ) = ( 1 โ€˜๐‘‹))
2018, 19eqeq12d 2748 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
2115, 20anbi12d 631 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ (((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
2221opabbidv 5214 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ฅ)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ฅ)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘ฅ))} = {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))})
23 issect.y . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
24 ovex 7441 . . . . 5 (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆˆ V
25 ovex 7441 . . . . 5 (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆˆ V
2624, 25xpex 7739 . . . 4 ((๐‘‹๐ป๐‘Œ) ร— (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆˆ V
27 opabssxp 5768 . . . 4 {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))} โŠ† ((๐‘‹๐ป๐‘Œ) ร— (๐‘Œ๐ป๐‘‹))
2826, 27ssexi 5322 . . 3 {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))} โˆˆ V
2928a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))} โˆˆ V)
308, 22, 7, 23, 29ovmpod 7559 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐‘†๐‘Œ) = {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โŸจcop 4634  {copab 5210   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Hom chom 17207  compcco 17208  Catccat 17607  Idccid 17608  Sectcsect 17690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-sect 17693
This theorem is referenced by:  sectss  17698  issect  17699  dfiso2  17718
  Copyright terms: Public domain W3C validator