MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issect 17706
Description: The property "๐น is a section of ๐บ". (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issect.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
issect.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
issect.o ยท = (compโ€˜๐ถ)
issect.i 1 = (Idโ€˜๐ถ)
issect.s ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
issect.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
issect.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
issect.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
issect (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))

Proof of Theorem issect
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issect.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 issect.h . . . 4 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
3 issect.o . . . 4 ยท = (compโ€˜๐ถ)
4 issect.i . . . 4 1 = (Idโ€˜๐ถ)
5 issect.s . . . 4 ๐‘† = (Sectโ€˜๐ถ)
6 issect.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
7 issect.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 issect.y . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8sectfval 17704 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹๐‘†๐‘Œ) = {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))})
109breqd 5160 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” ๐น{โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))}๐บ))
11 oveq12 7422 . . . . . 6 ((๐‘” = ๐บ โˆง ๐‘“ = ๐น) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น))
1211ancoms 457 . . . . 5 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น))
1312eqeq1d 2732 . . . 4 ((๐‘“ = ๐น โˆง ๐‘” = ๐บ) โ†’ ((๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹) โ†” (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
14 eqid 2730 . . . 4 {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))} = {โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))}
1513, 14brab2a 5770 . . 3 (๐น{โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))}๐บ โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
16 df-3an 1087 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)) โ†” ((๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
1715, 16bitr4i 277 . 2 (๐น{โŸจ๐‘“, ๐‘”โŸฉ โˆฃ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹)) โˆง (๐‘”(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐‘“) = ( 1 โ€˜๐‘‹))}๐บ โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹)))
1810, 17bitrdi 286 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น(๐‘‹๐‘†๐‘Œ)๐บ โ†” (๐น โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘Œ๐ป๐‘‹) โˆง (๐บ(โŸจ๐‘‹, ๐‘ŒโŸฉ ยท ๐‘‹)๐น) = ( 1 โ€˜๐‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  Hom chom 17214  compcco 17215  Catccat 17614  Idccid 17615  Sectcsect 17697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-sect 17700
This theorem is referenced by:  issect2  17707  sectcan  17708  sectco  17709  oppcsect  17731  sectmon  17735  monsect  17736  funcsect  17828  fucsect  17931  invfuc  17933  setcsect  18045  catciso  18067  rngcsect  46968  rngcsectALTV  46980  ringcsect  47019  ringcsectALTV  47043  thincsect  47766
  Copyright terms: Public domain W3C validator