Theorem selvply1rhmlem3 33878

Description: Lemma for selvply1rhm 33881. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓,𝑛)   𝑄(𝑓,𝑛)   𝑈(𝑓,𝑛)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑓,𝑛)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚‘∅) = (𝑁‘∅))
2	1	opeq2d 4844	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩)
3	2	sneqd 4600	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩})
4	3	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))
5		selvply1rhm.5	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
7	6	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
8	7	mpteq2dv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
11	10	mptexd 7222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
12	5, 8, 9, 11	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
13		fveq1 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
14	13	opeq2d 4844	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
15	14	sneqd 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
16	15	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
17	16	cbvmptv 5214	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
18	12, 17	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})))
19		selvply1rhmlem3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
20		fvexd 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}) ∈ V)
21	4, 18, 19, 20	fvmptd4 7014	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  {csn 4588  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8445   ↑_m cmap 8823  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  CRingccrg 20315   mPoly cmpl 22035   selectVars cslv 22246  Poly₁cpl1 22316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem4  33879  selvply1rhm0  33882