Theorem selvply1rhmlem3 34196

Description: Lemma for selvply1rhm 34199. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓, 𝑛)   𝑄(𝑓, 𝑛)   𝑈(𝑓, 𝑛)   𝐻(𝑓, 𝑛)   𝑁(𝑓, 𝑛)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚‘∅) = (𝑁‘∅))
2	1	opeq2d 4839	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩)
3	2	sneqd 4595	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩})
4	3	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))
5		selvply1rhm.5	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
7	6	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
8	7	mpteq2dv 5198	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
11	10	mptexd 7230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
12	5, 8, 9, 11	fvmptd3 7017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
13		fveq1 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
14	13	opeq2d 4839	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
15	14	sneqd 4595	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
16	15	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
17	16	cbvmptv 5208	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
18	12, 17	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})))
19		selvply1rhmlem3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
20		fvexd 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}) ∈ V)
21	4, 18, 19, 20	fvmptd4 7018	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469   ↑_m cmap 8847  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  CRingccrg 20460   mPoly cmpl 22214   selectVars cslv 22425  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  selvply1rhmlem4  34197  selvply1rhm0  34200