Theorem selvply1rhmlem3 33706

Description: Lemma for selvply1rhm 33709. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓,𝑛)   𝑄(𝑓,𝑛)   𝑈(𝑓,𝑛)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑓,𝑛)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚‘∅) = (𝑁‘∅))
2	1	opeq2d 4811	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩)
3	2	sneqd 4567	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩})
4	3	fveq2d 6831	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))
5		selvply1rhm.5	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
7	6	fveq1d 6829	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
8	7	mpteq2dv 5166	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
11	10	mptexd 7168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
12	5, 8, 9, 11	fvmptd3 6959	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
13		fveq1 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
14	13	opeq2d 4811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
15	14	sneqd 4567	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
16	15	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
17	16	cbvmptv 5176	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
18	12, 17	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})))
19		selvply1rhmlem3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
20		fvexd 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}) ∈ V)
21	4, 18, 19, 20	fvmptd4 6960	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  {csn 4555  ⟨cop 4561   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8763  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  CRingccrg 20206   mPoly cmpl 21881   selectVars cslv 22092  Poly₁cpl1 22162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem4  33707  selvply1rhm0  33710