Theorem selvply1rhmlem3 33821

Description: Lemma for selvply1rhm 33824. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓,𝑛)   𝑄(𝑓,𝑛)   𝑈(𝑓,𝑛)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝑁(𝑓,𝑛)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6866	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚‘∅) = (𝑁‘∅))
2	1	opeq2d 4839	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩)
3	2	sneqd 4595	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩})
4	3	fveq2d 6871	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))
5		selvply1rhm.5	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
7	6	fveq1d 6869	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
8	7	mpteq2dv 5195	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
11	10	mptexd 7208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
12	5, 8, 9, 11	fvmptd3 6999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
13		fveq1 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
14	13	opeq2d 4839	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
15	14	sneqd 4595	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
16	15	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
17	16	cbvmptv 5205	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
18	12, 17	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})))
19		selvply1rhmlem3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
20		fvexd 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}) ∈ V)
21	4, 18, 19, 20	fvmptd4 7000	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5182  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1_oc1o 8430   ↑_m cmap 8808  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  CRingccrg 20294   mPoly cmpl 21965   selectVars cslv 22176  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem4  33822  selvply1rhm0  33825