Theorem selvply1rhmlem3 34224

Description: Lemma for selvply1rhm 34227. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem3	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐼,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝑃(𝑓, 𝑛)   𝑄(𝑓, 𝑛)   𝑈(𝑓, 𝑛)   𝐻(𝑓, 𝑛)   𝑁(𝑓, 𝑛)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚‘∅) = (𝑁‘∅))
2	1	opeq2d 4850	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩)
3	2	sneqd 4596	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩})
4	3	fveq2d 6912	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))
5		selvply1rhm.5	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹))
7	6	fveq1d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
8	7	mpteq2dv 5202	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
9		selvply1rhmlem3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		ovexd 7478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
11	10	mptexd 7253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
12	5, 8, 9, 11	fvmptd3 7040	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
13		fveq1 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛‘∅) = (𝑚‘∅))
14	13	opeq2d 4850	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩)
15	14	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})
16	15	fveq2d 6912	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
17	16	cbvmptv 5212	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩}))
18	12, 17	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = (𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑚‘∅)⟩})))
19		selvply1rhmlem3.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
20		fvexd 6923	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}) ∈ V)
21	4, 18, 19, 20	fvmptd4 7041	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘𝑁) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑁‘∅)⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497   ↑_m cmap 8875  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  CRingccrg 20490   mPoly cmpl 22244   selectVars cslv 22455  Poly₁cpl1 22525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446

This theorem is used by:  selvply1rhmlem4  34225  selvply1rhm0  34228