Theorem selvply1rhm0 33713

Description: The ring homomorphism 𝐻 built in selvply1rhm 33712 is injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhm0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑄)
selvply1rhm0.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
selvply1rhm0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhm0.4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm0	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)   0 (𝑓,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm0

Dummy variables ℎ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5	4	psrbasfsupp 33698	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		selvply1rhm0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 5, 6	mplelf 21975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
8	7	feqmptd 6898	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)))
9		nn0ex 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
11		1oex 8408	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1o ∈ V)
13		df1o2 8405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o = {∅}
14	13	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} = 1o
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {∅} = 1o)
16		0ex 5232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ∅ ∈ V)
18		selvply1rhm.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		ssrab2 4014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
22	21	sselda 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
23	19, 10, 22	elmaprd 32775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝:𝐼⟶ℕ0)
24		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	23, 25	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝‘𝑋) ∈ ℕ0)
27	17, 26	fsnd 6814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:{∅}⟶ℕ0)
28	15, 27	feq2dd 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:1o⟶ℕ0)
29	10, 12, 28	elmapdd 8781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
30		psr1baslem 22173	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
32	31	psrbasfsupp 33698	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
33	30, 32	eqtr4i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
34	29, 33	eleqtrdi 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0})
35		fvex 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) ∈ V
36	35	fvconst2 7151	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
37	34, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
38	23	ffnd 6659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 Fn 𝐼)
39		fnressn 7104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
40	38, 25, 39	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
41		fvex 6843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝‘𝑋) ∈ V
42	16, 41	fvsn 7128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅) = (𝑝‘𝑋)
43	42	opeq2i 4811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩
44	43	sneqi 4569	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩}
45	40, 44	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩})
46	45	fveq2d 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
47		selvply1rhm.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
48		selvply1rhm.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
49		selvply1rhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
50		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ CRing)
52	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
53	3, 1, 47, 48, 49, 19, 25, 51, 52, 29	selvply1rhmlem3 33709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
54		selvply1rhm0.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
56		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
57		selvply1rhm0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
58	55, 48, 57	ply1mpl0 22244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑈))
59	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
60	18	difexd 5262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
61	50	crngringd 20221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
62	47, 60, 61	mplringd 22000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
63	62	ringgrpd 20217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
64	55, 32, 56, 58, 59, 63	mpl0 21983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
65	54, 64	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
66	65	fveq1d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
68	46, 53, 67	3eqtr2rd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})))
69		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0}
70	69	psrbasfsupp 33698	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
71		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
72	60	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
73	61	ringgrpd 20217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ Grp)
75	47, 70, 71, 56, 72, 74	mpl0 21983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑈) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
76	37, 68, 75	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
77	76	fveq1d 6832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))
78	24	snssd 4721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
79	78	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
80		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
81	5, 1, 3, 51, 79, 52, 80	selvvvval 22121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (𝐹‘𝑝))
82		breq1 5078	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0))
83		difssd 4070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
84	22, 83	elmapssresd 8808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})))
85		breq1 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑝 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑝 finSupp 0))
86	85, 80	elrabrd 32589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 finSupp 0)
87		c0ex 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ V)
89	86, 88	fsuppres 9299	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0)
90	82, 84, 89	elrabd 3634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0})
91		fvex 6843	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
92	91	fvconst2 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
93	90, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
94	77, 81, 93	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐹‘𝑝) = (0g‘𝑅))
95	94	mpteq2dva 5168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
96		selvply1rhm0.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
97	1, 5, 71, 96, 18, 73	mpl0 21983	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
98		fconstmpt 5683	. . 3 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
99	97, 98	eqtr2di 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)) = 𝑍)
100	8, 95, 99	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  {crab 3388  Vcvv 3428   ∖ cdif 3883   ⊆ wss 3886  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   “ cima 5624   Fn wfn 6483  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  CRingccrg 20209   mPoly cmpl 21884   selectVars cslv 22095  Poly₁cpl1 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-assa 21831  df-asp 21832  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-evls 22053  df-evl 22054  df-selv 22096  df-psr1 22168  df-ply1 22170

This theorem is referenced by:  mplidomlem  33714