Theorem selvply1rhm0 33825

Description: The ring homomorphism 𝐻 built in selvply1rhm 33824 is injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhm0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑄)
selvply1rhm0.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
selvply1rhm0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhm0.4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm0	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)   0 (𝑓,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm0

Dummy variables ℎ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5	4	psrbasfsupp 33810	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		selvply1rhm0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 5, 6	mplelf 22056	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
8	7	feqmptd 6935	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)))
9		nn0ex 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
11		1oex 8447	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1o ∈ V)
13		df1o2 8444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o = {∅}
14	13	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} = 1o
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {∅} = 1o)
16		0ex 5258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ∅ ∈ V)
18		selvply1rhm.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		ssrab2 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
22	21	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
23	19, 10, 22	elmaprd 32888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝:𝐼⟶ℕ0)
24		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
26	23, 25	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝‘𝑋) ∈ ℕ0)
27	17, 26	fsnd 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:{∅}⟶ℕ0)
28	15, 27	feq2dd 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:1o⟶ℕ0)
29	10, 12, 28	elmapdd 8822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
30		psr1baslem 22254	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
32	31	psrbasfsupp 33810	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
33	30, 32	eqtr4i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
34	29, 33	eleqtrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0})
35		fvex 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) ∈ V
36	35	fvconst2 7188	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
37	34, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
38	23	ffnd 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 Fn 𝐼)
39		fnressn 7141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
40	38, 25, 39	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
41		fvex 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝‘𝑋) ∈ V
42	16, 41	fvsn 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅) = (𝑝‘𝑋)
43	42	opeq2i 4836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩
44	43	sneqi 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩}
45	40, 44	eqtr4di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩})
46	45	fveq2d 6871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
47		selvply1rhm.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
48		selvply1rhm.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
49		selvply1rhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
50		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
51	50	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ CRing)
52	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
53	3, 1, 47, 48, 49, 19, 25, 51, 52, 29	selvply1rhmlem3 33821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
54		selvply1rhm0.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )
55		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
56		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
57		selvply1rhm0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
58	55, 48, 57	ply1mpl0 22325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑈))
59	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
60	18	difexd 5288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
61	50	crngringd 20306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
62	47, 60, 61	mplringd 22081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
63	62	ringgrpd 20302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
64	55, 32, 56, 58, 59, 63	mpl0 22064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
65	54, 64	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
66	65	fveq1d 6869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
67	66	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
68	46, 53, 67	3eqtr2rd 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})))
69		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0}
70	69	psrbasfsupp 33810	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
71		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
72	60	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
73	61	ringgrpd 20302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ Grp)
75	47, 70, 71, 56, 72, 74	mpl0 22064	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑈) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
76	37, 68, 75	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
77	76	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))
78	24	snssd 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
79	78	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
80		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
81	5, 1, 3, 51, 79, 52, 80	selvvvval 22202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (𝐹‘𝑝))
82		breq1 5104	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0))
83		difssd 4091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
84	22, 83	elmapssresd 8849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})))
85		breq1 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑝 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑝 finSupp 0))
86	85, 80	elrabrd 3654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 finSupp 0)
87		c0ex 11184	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ V)
89	86, 88	fsuppres 9337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0)
90	82, 84, 89	elrabd 3653	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0})
91		fvex 6880	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
92	91	fvconst2 7188	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
93	90, 92	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
94	77, 81, 93	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐹‘𝑝) = (0g‘𝑅))
95	94	mpteq2dva 5194	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
96		selvply1rhm0.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
97	1, 5, 71, 96, 18, 73	mpl0 22064	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
98		fconstmpt 5710	. . 3 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
99	97, 98	eqtr2di 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)) = 𝑍)
100	8, 95, 99	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {crab 3415  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   × cxp 5646  ^◡ccnv 5647   ↾ cres 5650   “ cima 5651   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1_oc1o 8430   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11084  ℕcn 12220  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  0_gc0g 17478  Grpcgrp 18985  CRingccrg 20294   mPoly cmpl 21965   selectVars cslv 22176  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-srg 20247  df-ring 20295  df-cring 20296  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-assa 21912  df-asp 21913  df-ascl 21914  df-psr 21968  df-mvr 21969  df-mpl 21970  df-opsr 21972  df-evls 22134  df-evl 22135  df-selv 22177  df-psr1 22249  df-ply1 22251

This theorem is referenced by:  mplidomlem  33826