Theorem selvply1rhm0 34200

Description: The ring homomorphism 𝐻 built in selvply1rhm 34199 is injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhm0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑄)
selvply1rhm0.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
selvply1rhm0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhm0.4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm0	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)   0 (𝑓, 𝑛)   𝑍(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm0

Dummy variables ℎ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5	4	psrbasfsupp 34185	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		selvply1rhm0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 5, 6	mplelf 22305	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
8	7	feqmptd 6953	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)))
9		nn0ex 12612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
11		1oex 8486	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1o ∈ V)
13		df1o2 8483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o = {∅}
14	13	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} = 1o
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {∅} = 1o)
16		0ex 5260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ∅ ∈ V)
18		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
20	19	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
21	20	elmaprd 8870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝:𝐼⟶ℕ0)
22		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
24	21, 23	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝‘𝑋) ∈ ℕ0)
25	17, 24	fsnd 6869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:{∅}⟶ℕ0)
26	15, 25	feq2dd 6695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:1o⟶ℕ0)
27	10, 12, 26	elmapdd 8861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
28		psr1baslem 22503	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
29		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
30	29	psrbasfsupp 34185	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31	28, 30	eqtr4i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
32	27, 31	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0})
33		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) ∈ V
34	33	fvconst2 7210	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
35	32, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
36	21	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 Fn 𝐼)
37		fnressn 7162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
38	36, 23, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
39		fvex 6898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝‘𝑋) ∈ V
40	16, 39	fvsn 7186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅) = (𝑝‘𝑋)
41	40	opeq2i 4836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩
42	41	sneqi 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩}
43	38, 42	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩})
44	43	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
45		selvply1rhm.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
46		selvply1rhm.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
47		selvply1rhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
48		selvply1rhm.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
49	48	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
50		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
51	50	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ CRing)
52	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
53	3, 1, 45, 46, 47, 49, 23, 51, 52, 27	selvply1rhmlem3 34196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
54		selvply1rhm0.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )
55		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
56		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
57		selvply1rhm0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
58	55, 46, 57	ply1mpl0 22574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑈))
59	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
60	48	difexd 5292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
61	50	crngringd 20473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
62	45, 60, 61	mplringd 22330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
63	62	ringgrpd 20469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
64	55, 30, 56, 58, 59, 63	mpl0 22313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
65	54, 64	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
66	65	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
68	44, 53, 67	3eqtr2rd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})))
69		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0}
70	69	psrbasfsupp 34185	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
71		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
72	60	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
73	61	ringgrpd 20469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ Grp)
75	45, 70, 71, 56, 72, 74	mpl0 22313	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑈) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
76	35, 68, 75	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
77	76	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))
78	22	snssd 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
79	78	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
80		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
81	5, 1, 3, 51, 79, 52, 80	selvvvval 22451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (𝐹‘𝑝))
82		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0))
83		difssd 4073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
84	20, 83	elmapssresd 8895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})))
85		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑝 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑝 finSupp 0))
86	85, 80	elrabrd 3647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 finSupp 0)
87		c0ex 11300	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ V)
89	86, 88	fsuppres 9385	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0)
90	82, 84, 89	elrabd 3646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0})
91		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
92	91	fvconst2 7210	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
93	90, 92	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
94	77, 81, 93	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐹‘𝑝) = (0g‘𝑅))
95	94	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
96		selvply1rhm0.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
97	1, 5, 71, 96, 48, 73	mpl0 22313	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
98		fconstmpt 5712	. . 3 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
99	97, 98	eqtr2di 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)) = 𝑍)
100	8, 95, 99	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  CRingccrg 20460   mPoly cmpl 22214   selectVars cslv 22425  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-selv 22426  df-psr1 22498  df-ply1 22500

This theorem is used by:  mplidomlem  34201