Theorem selvply1rhm0 34091

Description: The ring homomorphism 𝐻 built in selvply1rhm 34090 is injective. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhm0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑄)
selvply1rhm0.2	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
selvply1rhm0.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhm0.4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm0	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)   0 (𝑓, 𝑛)   𝑍(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm0

Dummy variables ℎ 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		selvply1rhm.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
5	4	psrbasfsupp 34076	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		selvply1rhm0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 5, 6	mplelf 22266	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}⟶(Base‘𝑅))
8	7	feqmptd 6941	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)))
9		nn0ex 12581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ℕ0 ∈ V)
11		1oex 8464	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 1o ∈ V)
13		df1o2 8461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o = {∅}
14	13	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} = 1o
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {∅} = 1o)
16		0ex 5260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ∅ ∈ V)
18		ssrab2 4027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ⊆ (ℕ0 ↑m 𝐼))
20	19	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
21	20	elmaprd 8848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝:𝐼⟶ℕ0)
22		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑋 ∈ 𝐼)
24	21, 23	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝‘𝑋) ∈ ℕ0)
25	17, 24	fsnd 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:{∅}⟶ℕ0)
26	15, 25	feq2dd 6683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}:1o⟶ℕ0)
27	10, 12, 26	elmapdd 8839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
28		psr1baslem 22464	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
29		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
30	29	psrbasfsupp 34076	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
31	28, 30	eqtr4i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0}
32	27, 31	eleqtrdi 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0})
33		fvex 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) ∈ V
34	33	fvconst2 7198	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
35	32, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (0g‘𝑈))
36	21	ffnd 6698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 Fn 𝐼)
37		fnressn 7150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 Fn 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
38	36, 23, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩})
39		fvex 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝‘𝑋) ∈ V
40	16, 39	fvsn 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅) = (𝑝‘𝑋)
41	40	opeq2i 4836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩
42	41	sneqi 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑝‘𝑋)⟩}
43	38, 42	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ {𝑋}) = {⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩})
44	43	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
45		selvply1rhm.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
46		selvply1rhm.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
47		selvply1rhm.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
48		selvply1rhm.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
49	48	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
50		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
51	50	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ CRing)
52	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝐹 ∈ 𝐵)
53	3, 1, 45, 46, 47, 49, 23, 51, 52, 27	selvply1rhmlem3 34087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, ({⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}‘∅)⟩}))
54		selvply1rhm0.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = 0 )
55		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
56		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
57		selvply1rhm0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
58	55, 46, 57	ply1mpl0 22535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘(1o mPoly 𝑈))
59	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
60	48	difexd 5292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
61	50	crngringd 20434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
62	45, 60, 61	mplringd 22291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
63	62	ringgrpd 20430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
64	55, 30, 56, 58, 59, 63	mpl0 22274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
65	54, 64	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)}))
66	65	fveq1d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((𝐻‘𝐹)‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}))
68	44, 53, 67	3eqtr2rd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑈)})‘{⟨∅, (𝑝‘𝑋)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})))
69		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0}
70	69	psrbasfsupp 34076	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
71		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
72	60	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
73	61	ringgrpd 20430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
74	73	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑅 ∈ Grp)
75	45, 70, 71, 56, 72, 74	mpl0 22274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (0g‘𝑈) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
76	35, 68, 75	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋})) = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
77	76	fveq1d 6875	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))))
78	22	snssd 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
79	78	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
80		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
81	5, 1, 3, 51, 79, 52, 80	selvvvval 22412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘(𝑝 ↾ {𝑋}))‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (𝐹‘𝑝))
82		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) → (ℎ finSupp 0 ↔ (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0))
83		difssd 4083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐼 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝐼)
84	20, 83	elmapssresd 8873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})))
85		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑝 → (ℎ finSupp 0 ↔ 𝑝 finSupp 0))
86	85, 80	elrabrd 3647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 𝑝 finSupp 0)
87		c0ex 11271	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → 0 ∈ V)
89	86, 88	fsuppres 9363	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) finSupp 0)
90	82, 84, 89	elrabd 3646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0})
91		fvex 6886	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
92	91	fvconst2 7198	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
93	90, 92	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m (𝐼 ∖ {𝑋})) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)})‘(𝑝 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) = (0g‘𝑅))
94	77, 81, 93	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}) → (𝐹‘𝑝) = (0g‘𝑅))
95	94	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (𝐹‘𝑝)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)))
96		selvply1rhm0.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑃)
97	1, 5, 71, 96, 48, 73	mpl0 22274	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}))
98		fconstmpt 5709	. . 3 ⊢ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} × {(0g‘𝑅)}) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅))
99	97, 98	eqtr2di 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0} ↦ (0g‘𝑅)) = 𝑍)
100	8, 95, 99	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   “ cima 5650   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  1_oc1o 8447   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8951   finSupp cfsupp 9331  0cc0 11171  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  Basecbs 17348  0_gc0g 17571  Grpcgrp 19105  CRingccrg 20421   mPoly cmpl 22175   selectVars cslv 22386  Poly₁cpl1 22456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-srg 20374  df-ring 20422  df-cring 20423  df-rhm 20663  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-assa 22122  df-asp 22123  df-ascl 22124  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-evls 22344  df-evl 22345  df-selv 22387  df-psr1 22459  df-ply1 22461

This theorem is used by:  mplidomlem  34092