Theorem selvply1rhmlem4 33707

Description: Lemma for selvply1rhm 33709: The mapping 𝐻 is linear. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐺,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem4

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		selvply1rhm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		selvply1rhm.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
4		selvply1rhm.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
5		selvply1rhm.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		selvply1rhm.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		selvply1rhm.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvply1rhmlem1 33704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
10		selvply1rhmlem4.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	ffvelcdmd 7026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
12		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14	4, 12, 13	ply1basf 22187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
15	11, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
16	15	ffnd 6656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
17		selvply1rhmlem4.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	9, 17	ffvelcdmd 7026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄))
19	4, 12, 13	ply1basf 22187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
21	20	ffnd 6656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
22		ovexd 7391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
23		inidm 4155	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ∩ (ℕ0 ↑m 1o)) = (ℕ0 ↑m 1o)
24		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐹)‘𝑛))
25		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐺)‘𝑛))
26	16, 21, 22, 22, 23, 24, 25	ofval 7631	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
27		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
28	4, 12	ply1bas 22180	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
29		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
30		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
31	4, 27, 30	ply1plusg 22208	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
32	27, 28, 29, 31, 11, 18	mpladd 21983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = ((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺)))
33	32	fveq1d 6829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
34	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
35		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
36		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
37		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
38	7	snssd 4718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
39	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 10	selvcl 22116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40	35, 13, 36, 37, 39	mplelf 21972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
41	40	ffnd 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	41	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 17	selvcl 22116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
44	35, 13, 36, 37, 43	mplelf 21972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
45	44	ffnd 6656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∈ V
48	47	rabex 5267	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
50		breq1 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
51		nn0ex 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
53		snex 5368	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
55	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
56		1oex 8405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
58		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
59	57, 52, 58	elmaprd 32772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
60		0lt1o 8429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
62	59, 61	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
63	55, 62	fsnd 6811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
64	52, 54, 63	elmapdd 8778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
65		c0ex 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
67		snopfsupp 9294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
68	55, 62, 66, 67	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
69	50, 64, 68	elrabd 3631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
70		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
71	70	psrbasfsupp 33695	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
72	69, 71	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
73		fnfvof 7637	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
74	42, 46, 49, 72, 73	syl22anc 844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
75		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))
76	35, 36, 29, 75, 39, 43	mpladd 21983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
77	76	fveq1d 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
78	77	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
79	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
80	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑅 ∈ CRing)
81	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
82	1, 2, 3, 4, 5, 79, 55, 80, 81, 58	selvply1rhmlem3 33706	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
83	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
84	1, 2, 3, 4, 5, 79, 55, 80, 83, 58	selvply1rhmlem3 33706	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
85	82, 84	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
86	74, 78, 85	3eqtr4d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
87	26, 34, 86	3eqtr4rd 2785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
88	87	mpteq2dva 5165	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
89		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)))
90		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
91	2, 1, 90, 3, 35, 75, 6, 8, 38, 10, 17	selvadd 22119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
92	89, 91	sylan9eqr 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
93	92	fveq1d 6829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
94	93	mpteq2dv 5166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
95	8	crngringd 20218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
96	2, 6, 95	mplringd 21997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
97	96	ringgrpd 20214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
98	1, 90, 97, 10, 17	grpcld 18914	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
99	22	mptexd 7168	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
100	5, 94, 98, 99	fvmptd2 6944	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
101	6	difexd 5259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
102	3, 101, 95	mplringd 21997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
103	4	ply1ring 22232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
104	102, 103	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
105	104	ringgrpd 20214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Grp)
106	12, 30, 105, 11, 18	grpcld 18914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄))
107	4, 12, 13	ply1basf 22187	. . . 4 ⊢ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄) → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
108	106, 107	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
109	108	feqmptd 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
110	88, 100, 109	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  {csn 4555  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206   mPoly cmpl 21881   selectVars cslv 22092  Poly₁cpl1 22162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-evls 22050  df-evl 22051  df-selv 22093  df-psr1 22165  df-ply1 22167

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33709