Theorem selvply1rhmlem4 34225

Description: Lemma for selvply1rhm 34227: The mapping 𝐻 is linear. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐺,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem4

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		selvply1rhm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		selvply1rhm.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
4		selvply1rhm.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
5		selvply1rhm.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		selvply1rhm.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		selvply1rhm.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvply1rhmlem1 34222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
10		selvply1rhmlem4.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	ffvelcdmd 7109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14	4, 12, 13	ply1basf 22550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
15	11, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
16	15	ffnd 6732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
17		selvply1rhmlem4.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	9, 17	ffvelcdmd 7109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄))
19	4, 12, 13	ply1basf 22550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
21	20	ffnd 6732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
22		ovexd 7478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
23		inidm 4126	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ∩ (ℕ0 ↑m 1o)) = (ℕ0 ↑m 1o)
24		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐹)‘𝑛))
25		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐺)‘𝑛))
26	16, 21, 22, 22, 23, 24, 25	ofval 7728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
27		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
28	4, 12	ply1bas 22543	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
29		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
30		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
31	4, 27, 30	ply1plusg 22571	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
32	27, 28, 29, 31, 11, 18	mpladd 22346	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = ((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺)))
33	32	fveq1d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
35		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
37		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
38	7	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
39	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 10	selvcl 22479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40	35, 13, 36, 37, 39	mplelf 22335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
41	40	ffnd 6732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	41	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 17	selvcl 22479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
44	35, 13, 36, 37, 43	mplelf 22335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
45	44	ffnd 6732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	45	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		ovex 7476	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∈ V
48	47	rabex 5304	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
50		breq1 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
51		nn0ex 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
53		snex 5401	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
55	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
56		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
57	56	elmaprd 8898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
58		0lt1o 8540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
60	57, 59	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
61	55, 60	fsnd 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
62	52, 54, 61	elmapdd 8889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
63		c0ex 11327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
65		snopfsupp 9410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
66	55, 60, 64, 65	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
67	50, 62, 66	elrabd 3650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
68		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
69	68	psrbasfsupp 34213	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
70	67, 69	eleqtrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
71		fnfvof 7734	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
72	42, 46, 49, 70, 71	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
73		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))
74	35, 36, 29, 73, 39, 43	mpladd 22346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
75	74	fveq1d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
76	75	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
77	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
78	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑅 ∈ CRing)
79	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
80	1, 2, 3, 4, 5, 77, 55, 78, 79, 56	selvply1rhmlem3 34224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
81	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
82	1, 2, 3, 4, 5, 77, 55, 78, 81, 56	selvply1rhmlem3 34224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
83	80, 82	oveq12d 7461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
84	72, 76, 83	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
85	26, 34, 84	3eqtr4rd 2809	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
86	85	mpteq2dva 5201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
87		fveq2 6908	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)))
88		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
89	2, 1, 88, 3, 35, 73, 6, 8, 38, 10, 17	selvadd 22482	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
90	87, 89	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
91	90	fveq1d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
92	91	mpteq2dv 5202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
93	8	crngringd 20503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
94	2, 6, 93	mplringd 22360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
95	94	ringgrpd 20499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
96	1, 88, 95, 10, 17	grpcld 19187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
97	22	mptexd 7253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
98	5, 92, 96, 97	fvmptd2 7025	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
99	6	difexd 5297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
100	3, 99, 93	mplringd 22360	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
101	4	ply1ring 22595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
102	100, 101	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
103	102	ringgrpd 20499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Grp)
104	12, 30, 103, 11, 18	grpcld 19187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄))
105	4, 12, 13	ply1basf 22550	. . . 4 ⊢ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄) → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
106	104, 105	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
107	106	feqmptd 6976	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
108	86, 98, 107	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7715  1_oc1o 8497   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001   finSupp cfsupp 9381  0cc0 11227  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490   mPoly cmpl 22244   selectVars cslv 22455  Poly₁cpl1 22525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-srg 20443  df-ring 20491  df-cring 20492  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-assa 22191  df-asp 22192  df-ascl 22193  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-evls 22413  df-evl 22414  df-selv 22456  df-psr1 22528  df-ply1 22530

This theorem is used by:  selvply1rhm  34227