Theorem selvply1rhmlem4 33822

Description: Lemma for selvply1rhm 33824: The mapping 𝐻 is linear. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐺,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem4

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		selvply1rhm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		selvply1rhm.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
4		selvply1rhm.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
5		selvply1rhm.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		selvply1rhm.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		selvply1rhm.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvply1rhmlem1 33819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
10		selvply1rhmlem4.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	ffvelcdmd 7066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14	4, 12, 13	ply1basf 22271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
15	11, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
16	15	ffnd 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
17		selvply1rhmlem4.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	9, 17	ffvelcdmd 7066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄))
19	4, 12, 13	ply1basf 22271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
21	20	ffnd 6692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
22		ovexd 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
23		inidm 4179	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ∩ (ℕ0 ↑m 1o)) = (ℕ0 ↑m 1o)
24		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐹)‘𝑛))
25		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐺)‘𝑛))
26	16, 21, 22, 22, 23, 24, 25	ofval 7671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
27		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
28	4, 12	ply1bas 22264	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
29		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
30		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
31	4, 27, 30	ply1plusg 22292	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
32	27, 28, 29, 31, 11, 18	mpladd 22067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = ((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺)))
33	32	fveq1d 6869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
34	33	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
35		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
37		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
38	7	snssd 4746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
39	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 10	selvcl 22200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40	35, 13, 36, 37, 39	mplelf 22056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
41	40	ffnd 6692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	41	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 17	selvcl 22200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
44	35, 13, 36, 37, 43	mplelf 22056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
45	44	ffnd 6692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	45	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		ovex 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∈ V
48	47	rabex 5296	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
50		breq1 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
51		nn0ex 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
53		snex 5397	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
55	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
56		1oex 8447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
58		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
59	57, 52, 58	elmaprd 32888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
60		0lt1o 8473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
62	59, 61	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
63	55, 62	fsnd 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
64	52, 54, 63	elmapdd 8822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
65		c0ex 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
67		snopfsupp 9335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
68	55, 62, 66, 67	syl3anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
69	50, 64, 68	elrabd 3653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
70		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
71	70	psrbasfsupp 33810	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
72	69, 71	eleqtrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
73		fnfvof 7677	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
74	42, 46, 49, 72, 73	syl22anc 849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
75		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))
76	35, 36, 29, 75, 39, 43	mpladd 22067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
77	76	fveq1d 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
78	77	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
79	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
80	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑅 ∈ CRing)
81	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
82	1, 2, 3, 4, 5, 79, 55, 80, 81, 58	selvply1rhmlem3 33821	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
83	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
84	1, 2, 3, 4, 5, 79, 55, 80, 83, 58	selvply1rhmlem3 33821	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
85	82, 84	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
86	74, 78, 85	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
87	26, 34, 86	3eqtr4rd 2809	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
88	87	mpteq2dva 5194	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
89		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)))
90		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
91	2, 1, 90, 3, 35, 75, 6, 8, 38, 10, 17	selvadd 22203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
92	89, 91	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
93	92	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
94	93	mpteq2dv 5195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
95	8	crngringd 20306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
96	2, 6, 95	mplringd 22081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
97	96	ringgrpd 20302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
98	1, 90, 97, 10, 17	grpcld 18999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
99	22	mptexd 7208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
100	5, 94, 98, 99	fvmptd2 6984	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
101	6	difexd 5288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
102	3, 101, 95	mplringd 22081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
103	4	ply1ring 22316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
104	102, 103	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
105	104	ringgrpd 20302	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Grp)
106	12, 30, 105, 11, 18	grpcld 18999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄))
107	4, 12, 13	ply1basf 22271	. . . 4 ⊢ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄) → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
108	106, 107	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
109	108	feqmptd 6935	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
110	88, 100, 109	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {crab 3415  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_f cof 7658  1_oc1o 8430   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11084  ℕcn 12220  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  +_gcplusg 17296  Ringcrg 20293  CRingccrg 20294   mPoly cmpl 21965   selectVars cslv 22176  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-srg 20247  df-ring 20295  df-cring 20296  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-assa 21912  df-asp 21913  df-ascl 21914  df-psr 21968  df-mvr 21969  df-mpl 21970  df-opsr 21972  df-evls 22134  df-evl 22135  df-selv 22177  df-psr1 22249  df-ply1 22251

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33824