Theorem selvply1rhmlem4 34020

Description: Lemma for selvply1rhm 34022: The mapping 𝐻 is linear. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐺,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem4

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		selvply1rhm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		selvply1rhm.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
4		selvply1rhm.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
5		selvply1rhm.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		selvply1rhm.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		selvply1rhm.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvply1rhmlem1 34017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
10		selvply1rhmlem4.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14	4, 12, 13	ply1basf 22428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
15	11, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
16	15	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
17		selvply1rhmlem4.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	9, 17	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄))
19	4, 12, 13	ply1basf 22428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
21	20	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
22		ovexd 7451	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
23		inidm 4175	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ∩ (ℕ0 ↑m 1o)) = (ℕ0 ↑m 1o)
24		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐹)‘𝑛))
25		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐺)‘𝑛))
26	16, 21, 22, 22, 23, 24, 25	ofval 7692	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
27		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
28	4, 12	ply1bas 22421	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
29		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
30		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
31	4, 27, 30	ply1plusg 22449	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
32	27, 28, 29, 31, 11, 18	mpladd 22224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = ((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺)))
33	32	fveq1d 6884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
35		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
36		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
37		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
38	7	snssd 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
39	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 10	selvcl 22357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40	35, 13, 36, 37, 39	mplelf 22213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
41	40	ffnd 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	41	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 17	selvcl 22357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
44	35, 13, 36, 37, 43	mplelf 22213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
45	44	ffnd 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	45	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∈ V
48	47	rabex 5307	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
50		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
51		nn0ex 12537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
53		snex 5408	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
55	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
56		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
57	56	elmaprd 8852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
58		0lt1o 8494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
60	57, 59	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
61	55, 60	fsnd 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
62	52, 54, 61	elmapdd 8843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
63		c0ex 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
65		snopfsupp 9364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
66	55, 60, 64, 65	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
67	50, 62, 66	elrabd 3650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
68		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
69	68	psrbasfsupp 34008	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
70	67, 69	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
71		fnfvof 7698	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
72	42, 46, 49, 70, 71	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
73		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))
74	35, 36, 29, 73, 39, 43	mpladd 22224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
75	74	fveq1d 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
76	75	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
77	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
78	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑅 ∈ CRing)
79	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
80	1, 2, 3, 4, 5, 77, 55, 78, 79, 56	selvply1rhmlem3 34019	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
81	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
82	1, 2, 3, 4, 5, 77, 55, 78, 81, 56	selvply1rhmlem3 34019	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
83	80, 82	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
84	72, 76, 83	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
85	26, 34, 84	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
86	85	mpteq2dva 5202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
87		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)))
88		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
89	2, 1, 88, 3, 35, 73, 6, 8, 38, 10, 17	selvadd 22360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
90	87, 89	sylan9eqr 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
91	90	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
92	91	mpteq2dv 5203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
93	8	crngringd 20386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
94	2, 6, 93	mplringd 22238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
95	94	ringgrpd 20382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
96	1, 88, 95, 10, 17	grpcld 19072	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
97	22	mptexd 7226	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
98	5, 92, 96, 97	fvmptd2 6999	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
99	6	difexd 5300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
100	3, 99, 93	mplringd 22238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
101	4	ply1ring 22473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
102	100, 101	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
103	102	ringgrpd 20382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Grp)
104	12, 30, 103, 11, 18	grpcld 19072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄))
105	4, 12, 13	ply1basf 22428	. . . 4 ⊢ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄) → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
106	104, 105	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
107	106	feqmptd 6950	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
108	86, 98, 107	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  1_oc1o 8451   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374   mPoly cmpl 22122   selectVars cslv 22333  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-selv 22334  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  selvply1rhm  34022