Theorem selvply1rhmlem4 33922

Description: Lemma for selvply1rhm 33924: The mapping 𝐻 is linear. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvply1rhmlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvply1rhmlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem4	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑓,𝐹,𝑛   𝑓,𝐺,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem4

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		selvply1rhm.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		selvply1rhm.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
4		selvply1rhm.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
5		selvply1rhm.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
6		selvply1rhm.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		selvply1rhm.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
8		selvply1rhm.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	selvply1rhmlem1 33919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
10		selvply1rhmlem4.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11	9, 10	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄))
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14	4, 12, 13	ply1basf 22373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐹) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
15	11, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
16	15	ffnd 6706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐹) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
17		selvply1rhmlem4.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	9, 17	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄))
19	4, 12, 13	ply1basf 22373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻‘𝐺) ∈ (Base‘𝑄) → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
20	18, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
21	20	ffnd 6706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐺) Fn (ℕ0 ↑m 1o))
22		ovexd 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 1o) ∈ V)
23		inidm 4178	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) ∩ (ℕ0 ↑m 1o)) = (ℕ0 ↑m 1o)
24		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐹)‘𝑛))
25		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((𝐻‘𝐺)‘𝑛))
26	16, 21, 22, 22, 23, 24, 25	ofval 7687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
27		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
28	4, 12	ply1bas 22366	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(1o mPoly 𝑈))
29		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
30		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
31	4, 27, 30	ply1plusg 22394	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘(1o mPoly 𝑈))
32	27, 28, 29, 31, 11, 18	mpladd 22169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = ((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺)))
33	32	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
34	33	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛) = (((𝐻‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
35		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
36		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
37		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
38	7	snssd 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
39	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 10	selvcl 22302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40	35, 13, 36, 37, 39	mplelf 22158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
41	40	ffnd 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
42	41	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
43	2, 1, 3, 35, 36, 8, 38, 17	selvcl 22302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
44	35, 13, 36, 37, 43	mplelf 22158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑈))
45	44	ffnd 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
46	45	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
47		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∈ V
48	47	rabex 5308	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
50		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
51		nn0ex 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
53		snex 5409	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑋} ∈ V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
55	7	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
56		1oex 8461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
58		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
59	57, 52, 58	elmaprd 33036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
60		0lt1o 8487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 1o
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
62	59, 61	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
63	55, 62	fsnd 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
64	52, 54, 63	elmapdd 8836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
65		c0ex 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
66	65	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 0 ∈ V)
67		snopfsupp 9349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
68	55, 62, 66, 67	syl3anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
69	50, 64, 68	elrabd 3651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
70		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
71	70	psrbasfsupp 33910	. . . . . . 7 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
72	69, 71	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
73		fnfvof 7693	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺) Fn {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
74	42, 46, 49, 72, 73	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
75		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))
76	35, 36, 29, 75, 39, 43	mpladd 22169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
77	76	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
78	77	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹) ∘f (+g‘𝑈)(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
79	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
80	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑅 ∈ CRing)
81	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
82	1, 2, 3, 4, 5, 79, 55, 80, 81, 58	selvply1rhmlem3 33921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐹)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
83	17	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
84	1, 2, 3, 4, 5, 79, 55, 80, 83, 58	selvply1rhmlem3 33921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝐻‘𝐺)‘𝑛) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
85	82, 84	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})(+g‘𝑈)((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
86	74, 78, 85	3eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)‘𝑛)(+g‘𝑈)((𝐻‘𝐺)‘𝑛)))
87	26, 34, 86	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛))
88	87	mpteq2dva 5203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
89		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)))
90		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
91	2, 1, 90, 3, 35, 75, 6, 8, 38, 10, 17	selvadd 22305	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
92	89, 91	sylan9eqr 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺)))
93	92	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
94	93	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
95	8	crngringd 20334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
96	2, 6, 95	mplringd 22183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
97	96	ringgrpd 20330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
98	1, 90, 97, 10, 17	grpcld 19020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘𝑃)𝐺) ∈ 𝐵)
99	22	mptexd 7222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) ∈ V)
100	5, 94, 98, 99	fvmptd2 6998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐹)(+g‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝐺))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
101	6	difexd 5301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
102	3, 101, 95	mplringd 22183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
103	4	ply1ring 22418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
104	102, 103	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
105	104	ringgrpd 20330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Grp)
106	12, 30, 105, 11, 18	grpcld 19020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄))
107	4, 12, 13	ply1basf 22373	. . . 4 ⊢ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) ∈ (Base‘𝑄) → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
108	106, 107	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)):(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑈))
109	108	feqmptd 6949	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺))‘𝑛)))
110	88, 100, 109	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝐹(+g‘𝑃)𝐺)) = ((𝐻‘𝐹)(+g‘𝑄)(𝐻‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  {csn 4588  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  1_oc1o 8444   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322   mPoly cmpl 22067   selectVars cslv 22278  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-srg 20275  df-ring 20323  df-cring 20324  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-assa 22014  df-asp 22015  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-evls 22236  df-evl 22237  df-selv 22279  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  selvply1rhm  33924