Theorem selvply1rhmlem2 33762

Description: Lemma for selvply1rhm 33766: Image of the ring unit by the mapping 𝐻 (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem2	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem2

Dummy variables ℎ 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6852	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
3	2	fveq1d 6854	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5184	. . 3 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9		selvply1rhm.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 20264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 6, 7, 8, 9, 11	mplascl1 22047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
13	12	fveq2d 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
14		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))
16	14, 7, 11	ringidcld 20284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
18		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
19		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))
20		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
21	20	snssd 4735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
22	14, 5, 6, 15, 9, 16, 17, 18, 19, 10, 21	selvascl 33758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
23	13, 22	eqtr3d 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
24	23	fveq1d 6854	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
25	24	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
26		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
28	9	difexd 5277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
29	17, 26, 14, 27, 28, 11	mplasclf 22087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
30	29, 16	fvco3d 6953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))))
31		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
32		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33		snex 5386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
35	17, 28, 11	mplringd 22043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
36	29, 16	ffvelcdmd 7051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑈))
37	18, 31, 32, 26, 15, 34, 35, 36	mplascl 22086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
38	30, 37	eqtrd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
39	38	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
40		eqeq1 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
41	40	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
42		c0ex 11159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44		xpsng 7106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
45	20, 43, 44	syl2anc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
46	45	eqeq2d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
47	46	ad2antrr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
48		opex 5421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
49		sneqbg 4791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
50	48, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
51		eqidd 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑋)
52		fvexd 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛‘∅) ∈ V)
53		opthg 5435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
54	20, 52, 53	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
55	51, 54	mpbirand 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
56	55	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
57		1oex 8431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1o ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
59		nn0ex 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ∈ V
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
61		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
62	58, 60, 61	elmaprd 32821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
63	62	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
64	63	feqmptd 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)))
65		el1o 8448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ 1o ↔ 𝑢 = ∅)
66	65	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 1o → 𝑢 = ∅)
67	66	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → 𝑢 = ∅)
68	67	fveq2d 6856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = (𝑛‘∅))
69		simplr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘∅) = 0)
70	68, 69	eqtrd 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = 0)
71	70	mpteq2dva 5183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
72	64, 71	eqtrd 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
73		fconstmpt 5698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o × {0}) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0)
74	73	eqeq2i 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) ↔ 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
75	72, 74	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (1o × {0}))
76	74	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
77	76	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
78		eqidd 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) ∧ 𝑢 = ∅) → 0 = 0)
79		0lt1o 8457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → ∅ ∈ 1o)
81	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 0 ∈ V)
82	77, 78, 80, 81	fvmptd 6968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → (𝑛‘∅) = 0)
83	75, 82	impbida 808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑛‘∅) = 0 ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
84	50, 56, 83	3bitrd 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
85	84	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
86	41, 47, 85	3bitrd 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
87		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
88	17, 27, 7, 87, 28, 11	mplascl1 22047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
89	88	ad2antrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
90	86, 89	ifbieq1d 4495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈)) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
91		breq1 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
92	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
93	20	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
94	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
95	62, 94	ffvelcdmd 7051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
96	93, 95	fsnd 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
97	60, 92, 96	elmapdd 8807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
98		snopfsupp 9323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
99	20, 52, 43, 98	syl3anc 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
100	99	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
101	91, 97, 100	elrabd 3643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
102		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
103	102	psrbasfsupp 33752	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
104	101, 103	eleqtrdi 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
105	26, 87, 35	ringidcld 20284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
106	35	ringgrpd 20260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
107	26, 32, 106	grpidcld 33168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
108	105, 107	ifcld 4517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
109	108	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
110	39, 90, 104, 109	fvmptd 6968	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
111	25, 110	eqtrd 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
112	111	mpteq2dva 5183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
113		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
114		psr1baslem 22216	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
115		selvply1rhm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
116		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘𝑄)
117	115, 116	ply1ascl 22290	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
118	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
119	113, 114, 32, 26, 117, 118, 35, 105	mplascl 22086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
120		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
121	115, 116, 87, 120, 35	ply1ascl1 22286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑄))
122	112, 119, 121	3eqtr2d 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
123	4, 122	sylan9eqr 2809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (1r‘𝑃)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
124		selvply1rhm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
125	5, 9, 11	mplringd 22043	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
126	124, 8, 125	ringidcld 20284	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
127		fvexd 6867	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
128	1, 123, 126, 127	fvmptd2 6969	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {crab 3404  Vcvv 3444   ∖ cdif 3892  ∅c0 4276  ifcif 4470  {csn 4572  ⟨cop 4578   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634  ^◡ccnv 5635   “ cima 5639   ∘ ccom 5640  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1_oc1o 8414   ↑_m cmap 8792  Fincfn 8912   finSupp cfsupp 9293  0cc0 11059  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  1_rcur 20199  CRingccrg 20252  algSccascl 21873   mPoly cmpl 21927   selectVars cslv 22138  Poly₁cpl1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-ofr 7646  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-hash 14330  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22096  df-evl 22097  df-selv 22139  df-psr1 22211  df-ply1 22213

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33766