Theorem selvply1rhmlem2 34018

Description: Lemma for selvply1rhm 34022: Image of the ring unit by the mapping 𝐻 (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem2	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓, 𝑛)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem2

Dummy variables ℎ 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
3	2	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5203	. . 3 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9		selvply1rhm.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 20386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 6, 7, 8, 9, 11	mplascl1 22242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
13	12	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
14		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))
16	14, 7, 11	ringidcld 20408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
18		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
19		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))
20		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
21	20	snssd 4750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
22	14, 5, 6, 15, 9, 16, 17, 18, 19, 10, 21	selvascl 34014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
23	13, 22	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
24	23	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
26		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
28	9	difexd 5300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
29	17, 26, 14, 27, 28, 11	mplasclf 22282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
30	29, 16	fvco3d 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))))
31		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
32		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33		snex 5408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
35	17, 28, 11	mplringd 22238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
36	29, 16	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑈))
37	18, 31, 32, 26, 15, 34, 35, 36	mplascl 22281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
38	30, 37	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
40		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
41	40	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
42		c0ex 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44		xpsng 7136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
45	20, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
46	45	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
48		opex 5443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
49		sneqbg 4806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
50	48, 49	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
51		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑋)
52		fvexd 6897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛‘∅) ∈ V)
53		opthg 5457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
54	20, 52, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
55	51, 54	mpbirand 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
57		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
58	57	elmaprd 8852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
60	59	feqmptd 6950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)))
61		el1o 8485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 1o ↔ 𝑢 = ∅)
62	61	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → 𝑢 = ∅)
63	62	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = (𝑛‘∅))
64		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘∅) = 0)
65	63, 64	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = 0)
66	65	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
67	60, 66	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
68		fconstmpt 5721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o × {0}) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0)
69	68	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) ↔ 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
70	67, 69	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (1o × {0}))
71	69	bilani 510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
72		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) ∧ 𝑢 = ∅) → 0 = 0)
73		0lt1o 8494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → ∅ ∈ 1o)
75	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 0 ∈ V)
76	71, 72, 74, 75	fvmptd 6998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → (𝑛‘∅) = 0)
77	70, 76	impbida 813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑛‘∅) = 0 ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
78	50, 56, 77	3bitrd 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
79	78	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
80	41, 47, 79	3bitrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
81		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
82	17, 27, 7, 81, 28, 11	mplascl1 22242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
84	80, 83	ifbieq1d 4510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈)) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
85		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
86		nn0ex 12537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
88	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
89	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
90	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
91	58, 90	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
92	89, 91	fsnd 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
93	87, 88, 92	elmapdd 8843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
94		snopfsupp 9364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
95	20, 52, 43, 94	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
96	95	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
97	85, 93, 96	elrabd 3650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
98		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
99	98	psrbasfsupp 34008	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
100	97, 99	eleqtrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
101	26, 81, 35	ringidcld 20408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
102	35	ringgrpd 20382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
103	26, 32, 102	grpidcld 33466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
104	101, 103	ifcld 4532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
105	104	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
106	39, 84, 100, 105	fvmptd 6998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
107	25, 106	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
108	107	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
109		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
110		psr1baslem 22411	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
111		selvply1rhm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
112		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘𝑄)
113	111, 112	ply1ascl 22485	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
114		1oex 8468	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
115	114	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
116	109, 110, 32, 26, 113, 115, 35, 101	mplascl 22281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
117		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
118	111, 112, 81, 117, 35	ply1ascl1 22481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑄))
119	108, 116, 118	3eqtr2d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
120	4, 119	sylan9eqr 2819	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (1r‘𝑃)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
121		selvply1rhm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
122	5, 9, 11	mplringd 22238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
123	121, 8, 122	ringidcld 20408	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
124		fvexd 6897	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
125	1, 120, 123, 124	fvmptd2 6999	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  ifcif 4485  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11127  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  1_rcur 20321  CRingccrg 20374  algSccascl 22068   mPoly cmpl 22122   selectVars cslv 22333  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-selv 22334  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  selvply1rhm  34022