Theorem selvply1rhmlem2 33920

Description: Lemma for selvply1rhm 33924: Image of the ring unit by the mapping 𝐻 (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem2	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓, 𝑛)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem2

Dummy variables ℎ 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
3	2	fveq1d 6883	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5204	. . 3 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9		selvply1rhm.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 20334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 6, 7, 8, 9, 11	mplascl1 22187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
13	12	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
14		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))
16	14, 7, 11	ringidcld 20356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
18		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
19		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))
20		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
21	20	snssd 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
22	14, 5, 6, 15, 9, 16, 17, 18, 19, 10, 21	selvascl 33916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
23	13, 22	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
24	23	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
25	24	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
26		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
28	9	difexd 5301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
29	17, 26, 14, 27, 28, 11	mplasclf 22227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
30	29, 16	fvco3d 6982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))))
31		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
32		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33		snex 5409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
35	17, 28, 11	mplringd 22183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
36	29, 16	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑈))
37	18, 31, 32, 26, 15, 34, 35, 36	mplascl 22226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
38	30, 37	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
39	38	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
40		eqeq1 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
41	40	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
42		c0ex 11206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44		xpsng 7135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
45	20, 43, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
46	45	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
47	46	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
48		opex 5444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
49		sneqbg 4807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
50	48, 49	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
51		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑋)
52		fvexd 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛‘∅) ∈ V)
53		opthg 5458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
54	20, 52, 53	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
55	51, 54	mpbirand 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
56	55	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
57		1oex 8461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1o ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
59		nn0ex 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ∈ V
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
61		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
62	58, 60, 61	elmaprd 33036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
63	62	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
64	63	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)))
65		el1o 8478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ 1o ↔ 𝑢 = ∅)
66	65	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 1o → 𝑢 = ∅)
67	66	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → 𝑢 = ∅)
68	67	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = (𝑛‘∅))
69		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘∅) = 0)
70	68, 69	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = 0)
71	70	mpteq2dva 5203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
72	64, 71	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
73		fconstmpt 5722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o × {0}) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0)
74	73	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) ↔ 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
75	72, 74	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (1o × {0}))
76	74	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
77	76	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
78		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) ∧ 𝑢 = ∅) → 0 = 0)
79		0lt1o 8487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → ∅ ∈ 1o)
81	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 0 ∈ V)
82	77, 78, 80, 81	fvmptd 6997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → (𝑛‘∅) = 0)
83	75, 82	impbida 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑛‘∅) = 0 ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
84	50, 56, 83	3bitrd 308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
85	84	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
86	41, 47, 85	3bitrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
87		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
88	17, 27, 7, 87, 28, 11	mplascl1 22187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
89	88	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
90	86, 89	ifbieq1d 4511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈)) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
91		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
92	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
93	20	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
94	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
95	62, 94	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
96	93, 95	fsnd 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
97	60, 92, 96	elmapdd 8836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
98		snopfsupp 9349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
99	20, 52, 43, 98	syl3anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
100	99	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
101	91, 97, 100	elrabd 3651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
102		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
103	102	psrbasfsupp 33910	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
104	101, 103	eleqtrdi 2872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
105	26, 87, 35	ringidcld 20356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
106	35	ringgrpd 20330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
107	26, 32, 106	grpidcld 33368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
108	105, 107	ifcld 4533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
109	108	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
110	39, 90, 104, 109	fvmptd 6997	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
111	25, 110	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
112	111	mpteq2dva 5203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
113		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
114		psr1baslem 22356	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
115		selvply1rhm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
116		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘𝑄)
117	115, 116	ply1ascl 22430	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
118	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
119	113, 114, 32, 26, 117, 118, 35, 105	mplascl 22226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
120		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
121	115, 116, 87, 120, 35	ply1ascl1 22426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑄))
122	112, 119, 121	3eqtr2d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
123	4, 122	sylan9eqr 2819	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (1r‘𝑃)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
124		selvply1rhm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
125	5, 9, 11	mplringd 22183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
126	124, 8, 125	ringidcld 20356	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
127		fvexd 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
128	1, 123, 126, 127	fvmptd2 6998	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  ifcif 4486  {csn 4588  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663   ∘ ccom 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1_oc1o 8444   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9319  0cc0 11106  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  1_rcur 20269  CRingccrg 20322  algSccascl 22013   mPoly cmpl 22067   selectVars cslv 22278  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-srg 20275  df-ring 20323  df-cring 20324  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-assa 22014  df-asp 22015  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-evls 22236  df-evl 22237  df-selv 22279  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  selvply1rhm  33924