Theorem selvply1rhmlem2 33705

Description: Lemma for selvply1rhm 33709: Image of the ring unit by the mapping 𝐻 (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem2	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem2

Dummy variables ℎ 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
3	2	fveq1d 6829	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5166	. . 3 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9		selvply1rhm.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 20218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 6, 7, 8, 9, 11	mplascl1 22001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
13	12	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
14		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))
16	14, 7, 11	ringidcld 20238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
18		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
19		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))
20		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
21	20	snssd 4718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
22	14, 5, 6, 15, 9, 16, 17, 18, 19, 10, 21	selvascl 33701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
23	13, 22	eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
24	23	fveq1d 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
25	24	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
26		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
28	9	difexd 5259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
29	17, 26, 14, 27, 28, 11	mplasclf 22041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
30	29, 16	fvco3d 6928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))))
31		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
32		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33		snex 5368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
35	17, 28, 11	mplringd 21997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
36	29, 16	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑈))
37	18, 31, 32, 26, 15, 34, 35, 36	mplascl 22040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
38	30, 37	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
40		eqeq1 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
42		c0ex 11129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44		xpsng 7081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
45	20, 43, 44	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
46	45	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
47	46	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
48		opex 5403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
49		sneqbg 4774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
50	48, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
51		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑋)
52		fvexd 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛‘∅) ∈ V)
53		opthg 5417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
54	20, 52, 53	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
55	51, 54	mpbirand 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
57		1oex 8405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1o ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
59		nn0ex 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ∈ V
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
61		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
62	58, 60, 61	elmaprd 32772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
64	63	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)))
65		el1o 8420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ 1o ↔ 𝑢 = ∅)
66	65	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 1o → 𝑢 = ∅)
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → 𝑢 = ∅)
68	67	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = (𝑛‘∅))
69		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘∅) = 0)
70	68, 69	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = 0)
71	70	mpteq2dva 5165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
72	64, 71	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
73		fconstmpt 5680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o × {0}) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0)
74	73	eqeq2i 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) ↔ 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
75	72, 74	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (1o × {0}))
76	74	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
78		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) ∧ 𝑢 = ∅) → 0 = 0)
79		0lt1o 8429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → ∅ ∈ 1o)
81	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 0 ∈ V)
82	77, 78, 80, 81	fvmptd 6943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → (𝑛‘∅) = 0)
83	75, 82	impbida 806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑛‘∅) = 0 ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
84	50, 56, 83	3bitrd 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
85	84	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
86	41, 47, 85	3bitrd 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
87		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
88	17, 27, 7, 87, 28, 11	mplascl1 22001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
89	88	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
90	86, 89	ifbieq1d 4479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈)) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
91		breq1 5075	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
92	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
93	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
94	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
95	62, 94	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
96	93, 95	fsnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
97	60, 92, 96	elmapdd 8778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
98		snopfsupp 9294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
99	20, 52, 43, 98	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
100	99	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
101	91, 97, 100	elrabd 3631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
102		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
103	102	psrbasfsupp 33695	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
104	101, 103	eleqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
105	26, 87, 35	ringidcld 20238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
106	35	ringgrpd 20214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
107	26, 32, 106	grpidcld 33119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
108	105, 107	ifcld 4501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
109	108	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
110	39, 90, 104, 109	fvmptd 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
111	25, 110	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
112	111	mpteq2dva 5165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
113		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
114		psr1baslem 22170	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
115		selvply1rhm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
116		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘𝑄)
117	115, 116	ply1ascl 22244	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
118	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
119	113, 114, 32, 26, 117, 118, 35, 105	mplascl 22040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
120		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
121	115, 116, 87, 120, 35	ply1ascl1 22240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑄))
122	112, 119, 121	3eqtr2d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
123	4, 122	sylan9eqr 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (1r‘𝑃)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
124		selvply1rhm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
125	5, 9, 11	mplringd 21997	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
126	124, 8, 125	ringidcld 20238	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
127		fvexd 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
128	1, 123, 126, 127	fvmptd2 6944	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  ifcif 4454  {csn 4555  ⟨cop 4561   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  CRingccrg 20206  algSccascl 21827   mPoly cmpl 21881   selectVars cslv 22092  Poly₁cpl1 22162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-evls 22050  df-evl 22051  df-selv 22093  df-psr1 22165  df-ply1 22167

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33709