Theorem selvply1rhmlem2 33820

Description: Lemma for selvply1rhm 33824: Image of the ring unit by the mapping 𝐻 (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhmlem2	⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐼   𝑄,𝑓   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑓,𝑛   𝑓,𝐼   𝑃,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑛)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhmlem2

Dummy variables ℎ 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.5	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
2		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
3	2	fveq1d 6869	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
4	3	mpteq2dv 5195	. . 3 ⊢ (𝑓 = (1r‘𝑃) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
5		selvply1rhm.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
9		selvply1rhm.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		selvply1rhm.8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
11	10	crngringd 20306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	5, 6, 7, 8, 9, 11	mplascl1 22085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
13	12	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)))
14		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))
16	14, 7, 11	ringidcld 20326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
17		selvply1rhm.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
18		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
19		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))
20		selvply1rhm.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
21	20	snssd 4746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
22	14, 5, 6, 15, 9, 16, 17, 18, 19, 10, 21	selvascl 33816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅))) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
23	13, 22	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃)) = (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)))
24	23	fveq1d 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
25	24	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}))
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
28	9	difexd 5288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
29	17, 26, 14, 27, 28, 11	mplasclf 22125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑈))
30	29, 16	fvco3d 6968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
32		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33		snex 5397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑋} ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
35	17, 28, 11	mplringd 22081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
36	29, 16	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑈))
37	18, 31, 32, 26, 15, 34, 35, 36	mplascl 22124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈))‘((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅))) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
38	30, 37	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
39	38	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅)) = (𝑝 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈))))
40		eqeq1 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
41	40	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0})))
42		c0ex 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
44		xpsng 7121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 0 ∈ V) → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
45	20, 43, 44	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} × {0}) = {⟨𝑋, 0⟩})
46	45	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
47	46	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = ({𝑋} × {0}) ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩}))
48		opex 5432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V
49		sneqbg 4802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ ∈ V → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
50	48, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ ⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩))
51		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑋)
52		fvexd 6882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑛‘∅) ∈ V)
53		opthg 5446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
54	20, 52, 53	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑋 = 𝑋 ∧ (𝑛‘∅) = 0)))
55	51, 54	mpbirand 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩ = ⟨𝑋, 0⟩ ↔ (𝑛‘∅) = 0))
57		1oex 8447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1o ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ V)
59		nn0ex 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ0 ∈ V
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ℕ0 ∈ V)
61		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
62	58, 60, 61	elmaprd 32888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛:1o⟶ℕ0)
64	63	feqmptd 6935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)))
65		el1o 8464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ 1o ↔ 𝑢 = ∅)
66	65	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ 1o → 𝑢 = ∅)
67	66	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → 𝑢 = ∅)
68	67	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = (𝑛‘∅))
69		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘∅) = 0)
70	68, 69	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) ∧ 𝑢 ∈ 1o) → (𝑛‘𝑢) = 0)
71	70	mpteq2dva 5194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → (𝑢 ∈ 1o ↦ (𝑛‘𝑢)) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
72	64, 71	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
73		fconstmpt 5710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1o × {0}) = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0)
74	73	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) ↔ 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
75	72, 74	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ (𝑛‘∅) = 0) → 𝑛 = (1o × {0}))
76	74	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (1o × {0}) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
77	76	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 𝑛 = (𝑢 ∈ 1o ↦ 0))
78		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) ∧ 𝑢 = ∅) → 0 = 0)
79		0lt1o 8473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ 1o
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → ∅ ∈ 1o)
81	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → 0 ∈ V)
82	77, 78, 80, 81	fvmptd 6983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑛 = (1o × {0})) → (𝑛‘∅) = 0)
83	75, 82	impbida 810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑛‘∅) = 0 ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
84	50, 56, 83	3bitrd 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
85	84	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ({⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} = {⟨𝑋, 0⟩} ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
86	41, 47, 85	3bitrd 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → (𝑝 = ({𝑋} × {0}) ↔ 𝑛 = (1o × {0})))
87		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
88	17, 27, 7, 87, 28, 11	mplascl1 22085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
89	88	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
90	86, 89	ifbieq1d 4506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑝 = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) → if(𝑝 = ({𝑋} × {0}), ((algSc‘𝑈)‘(1r‘𝑅)), (0g‘𝑈)) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
91		breq1 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} → (ℎ finSupp 0 ↔ {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0))
92	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {𝑋} ∈ V)
93	20	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 ∈ 𝐼)
94	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ∅ ∈ 1o)
95	62, 94	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑛‘∅) ∈ ℕ0)
96	93, 95	fsnd 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}:{𝑋}⟶ℕ0)
97	60, 92, 96	elmapdd 8822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}))
98		snopfsupp 9335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ (𝑛‘∅) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
99	20, 52, 43, 98	syl3anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
100	99	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} finSupp 0)
101	91, 97, 100	elrabd 3653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0})
102		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0}
103	102	psrbasfsupp 33810	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ ℎ finSupp 0} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
104	101, 103	eleqtrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → {⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩} ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m {𝑋}) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
105	26, 87, 35	ringidcld 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
106	35	ringgrpd 20302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
107	26, 32, 106	grpidcld 33224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ (Base‘𝑈))
108	105, 107	ifcld 4528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
109	108	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)) ∈ (Base‘𝑈))
110	39, 90, 104, 109	fvmptd 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((algSc‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ∘ (algSc‘𝑈))‘(1r‘𝑅))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
111	25, 110	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩}) = if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈)))
112	111	mpteq2dva 5194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
113		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly 𝑈) = (1o mPoly 𝑈)
114		psr1baslem 22254	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
115		selvply1rhm.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
116		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘𝑄)
117	115, 116	ply1ascl 22328	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑄) = (algSc‘(1o mPoly 𝑈))
118	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
119	113, 114, 32, 26, 117, 118, 35, 105	mplascl 22124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ if(𝑛 = (1o × {0}), (1r‘𝑈), (0g‘𝑈))))
120		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
121	115, 116, 87, 120, 35	ply1ascl1 22324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑄)‘(1r‘𝑈)) = (1r‘𝑄))
122	112, 119, 121	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(1r‘𝑃))‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
123	4, 122	sylan9eqr 2820	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (1r‘𝑃)) → (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})) = (1r‘𝑄))
124		selvply1rhm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
125	5, 9, 11	mplringd 22081	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
126	124, 8, 125	ringidcld 20326	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
127		fvexd 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
128	1, 123, 126, 127	fvmptd2 6984	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {crab 3415  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  ifcif 4481  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   × cxp 5646  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651   ∘ ccom 5652  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1_oc1o 8430   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9305  0cc0 11084  ℕcn 12220  ℕ₀cn0 12491  Basecbs 17255  0_gc0g 17478  1_rcur 20241  CRingccrg 20294  algSccascl 21911   mPoly cmpl 21965   selectVars cslv 22176  Poly₁cpl1 22246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-sup 9386  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-sca 17312  df-vsca 17313  df-ip 17314  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-prds 17486  df-pws 17488  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-srg 20247  df-ring 20295  df-cring 20296  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-assa 21912  df-asp 21913  df-ascl 21914  df-psr 21968  df-mvr 21969  df-mpl 21970  df-opsr 21972  df-evls 22134  df-evl 22135  df-selv 22177  df-psr1 22249  df-ply1 22251

This theorem is referenced by:  selvply1rhm  33824