Theorem selvply1rhm 34199

Description: Build a ring homomorphism 𝐻 between the multivariate polynomials 𝑃 with variables in 𝐼 and the univariate polynomials 𝑄 in a single variable 𝑋 element of 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑞 𝑟 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2760	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		selvply1rhm.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		selvply1rhm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20473	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	6, 7, 9	mplringd 22330	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
11		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
12	7	difexd 5292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
13	11, 12, 9	mplringd 22330	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
14		selvply1rhm.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
15	14	ply1ring 22565	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
18		selvply1rhm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
19	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem2 34195	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
21		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))
23		fveq1 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))
24	23	mpteq2dv 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
25	24	cbvmptv 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
26		fveq1 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟‘∅) = (𝑠‘∅))
27	26	opeq2d 4839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩)
28	27	sneqd 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})
29	28	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
30	29	cbvmptv 5208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
31	30	mpteq2i 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
32	25, 31	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
33	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐼)
34	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ Ring)
35	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
36	18	snssd 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
38		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
39	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 38	selvcl 22449	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ℎ ∈ 𝐵)
41	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 40	selvcl 22449	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
42	20, 21, 22, 5, 14, 32, 33, 34, 39, 41	selvply1rhmlemb 34193	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
43	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
45	1, 4, 44, 38, 40	ringcld 20484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝑔(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐵)
46	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 45, 25	selvply1rhmlem5 34198	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))))
47	6, 1, 4, 11, 21, 22, 43, 35, 37, 38, 40	selvmul 22453	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
48	47	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
49	46, 48	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
50	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 25	selvply1rhmlem5 34198	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘𝑔) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)))
51	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 40, 25	selvply1rhmlem5 34198	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘ℎ) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
52	50, 51	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
53	42, 49, 52	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
54	53	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
55		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
56		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
57		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
58	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem1 34194	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
59	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 40	selvply1rhmlem4 34197	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
60	59	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 10, 16, 19, 54, 55, 56, 57, 58, 60	isrhmd 20722	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469   ↑_m cmap 8847  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460   RingHom crh 20699   mPoly cmpl 22214   selectVars cslv 22425  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-selv 22426  df-psr1 22498  df-ply1 22500

This theorem is used by:  mplidomlem  34201