Theorem selvply1rhm 33881

Description: Build a ring homomorphism 𝐻 between the multivariate polynomials 𝑃 with variables in 𝐼 and the univariate polynomials 𝑄 in a single variable 𝑋 element of 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑞 𝑟 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2761	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2761	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		selvply1rhm.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		selvply1rhm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20327	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	6, 7, 9	mplringd 22151	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
11		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
12	7	difexd 5301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
13	11, 12, 9	mplringd 22151	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
14		selvply1rhm.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
15	14	ply1ring 22386	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
18		selvply1rhm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
19	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem2 33877	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
21		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
22		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))
23		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))
24	23	mpteq2dv 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
25	24	cbvmptv 5214	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
26		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟‘∅) = (𝑠‘∅))
27	26	opeq2d 4844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩)
28	27	sneqd 4600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})
29	28	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
30	29	cbvmptv 5214	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
31	30	mpteq2i 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
32	25, 31	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
33	18	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐼)
34	13	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ Ring)
35	8	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
36	18	snssd 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
38		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
39	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 38	selvcl 22270	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ℎ ∈ 𝐵)
41	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 40	selvcl 22270	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
42	20, 21, 22, 5, 14, 32, 33, 34, 39, 41	selvply1rhmlemb 33875	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
43	7	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	10	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
45	1, 4, 44, 38, 40	ringcld 20341	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝑔(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐵)
46	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 45, 25	selvply1rhmlem5 33880	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))))
47	6, 1, 4, 11, 21, 22, 43, 35, 37, 38, 40	selvmul 22274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
48	47	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
49	46, 48	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
50	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 25	selvply1rhmlem5 33880	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘𝑔) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)))
51	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 40, 25	selvply1rhmlem5 33880	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘ℎ) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
52	50, 51	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
53	42, 49, 52	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
54	53	anasss 471	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
55		eqid 2761	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
56		eqid 2761	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
57		eqid 2761	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
58	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem1 33876	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
59	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 40	selvply1rhmlem4 33879	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
60	59	anasss 471	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 10, 16, 19, 54, 55, 56, 57, 58, 60	isrhmd 20569	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8445   ↑_m cmap 8823  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315   RingHom crh 20550   mPoly cmpl 22035   selectVars cslv 22246  Poly₁cpl1 22316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-assa 21982  df-asp 21983  df-ascl 21984  df-psr 22038  df-mvr 22039  df-mpl 22040  df-opsr 22042  df-evls 22204  df-evl 22205  df-selv 22247  df-psr1 22319  df-ply1 22321

This theorem is referenced by:  mplidomlem  33883