Theorem selvply1rhm 33712

Description: Build a ring homomorphism 𝐻 between the multivariate polynomials 𝑃 with variables in 𝐼 and the univariate polynomials 𝑄 in a single variable 𝑋 element of 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑞 𝑟 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2736	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		selvply1rhm.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		selvply1rhm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	6, 7, 9	mplringd 22000	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
11		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
12	7	difexd 5262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
13	11, 12, 9	mplringd 22000	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
14		selvply1rhm.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
15	14	ply1ring 22235	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
18		selvply1rhm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
19	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem2 33708	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))
23		fveq1 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))
24	23	mpteq2dv 5169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
25	24	cbvmptv 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
26		fveq1 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟‘∅) = (𝑠‘∅))
27	26	opeq2d 4814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩)
28	27	sneqd 4570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})
29	28	fveq2d 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
30	29	cbvmptv 5179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
31	30	mpteq2i 5171	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
32	25, 31	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
33	18	ad2antrr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐼)
34	13	ad2antrr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ Ring)
35	8	ad2antrr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
36	18	snssd 4721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
37	36	ad2antrr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
38		simplr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
39	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 38	selvcl 22119	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ℎ ∈ 𝐵)
41	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 40	selvcl 22119	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
42	20, 21, 22, 5, 14, 32, 33, 34, 39, 41	selvply1rhmlemb 33706	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
43	7	ad2antrr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	10	ad2antrr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
45	1, 4, 44, 38, 40	ringcld 20235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝑔(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐵)
46	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 45, 25	selvply1rhmlem5 33711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))))
47	6, 1, 4, 11, 21, 22, 43, 35, 37, 38, 40	selvmul 22123	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
48	47	fveq2d 6834	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
49	46, 48	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
50	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 25	selvply1rhmlem5 33711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘𝑔) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)))
51	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 40, 25	selvply1rhmlem5 33711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘ℎ) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
52	50, 51	oveq12d 7377	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
53	42, 49, 52	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
54	53	anasss 467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
55		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
56		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
57		eqid 2736	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
58	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem1 33707	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
59	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 40	selvply1rhmlem4 33710	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
60	59	anasss 467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 10, 16, 19, 54, 55, 56, 57, 58, 60	isrhmd 20462	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  Vcvv 3428   ∖ cdif 3883   ⊆ wss 3886  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443   mPoly cmpl 21884   selectVars cslv 22095  Poly₁cpl1 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-assa 21831  df-asp 21832  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-evls 22053  df-evl 22054  df-selv 22096  df-psr1 22168  df-ply1 22170

This theorem is referenced by:  mplidomlem  33714