Theorem selvply1rhm 34227

Description: Build a ring homomorphism 𝐻 between the multivariate polynomials 𝑃 with variables in 𝐼 and the univariate polynomials 𝑄 in a single variable 𝑋 element of 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑞 𝑟 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		selvply1rhm.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		selvply1rhm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20503	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	6, 7, 9	mplringd 22360	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
11		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
12	7	difexd 5297	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
13	11, 12, 9	mplringd 22360	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
14		selvply1rhm.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
15	14	ply1ring 22595	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
18		selvply1rhm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
19	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem2 34223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
20		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))
23		fveq1 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))
24	23	mpteq2dv 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
25	24	cbvmptv 5212	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
26		fveq1 6907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟‘∅) = (𝑠‘∅))
27	26	opeq2d 4850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩)
28	27	sneqd 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})
29	28	fveq2d 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
30	29	cbvmptv 5212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
31	30	mpteq2i 5204	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
32	25, 31	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
33	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐼)
34	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ Ring)
35	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
36	18	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
38		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
39	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 38	selvcl 22479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ℎ ∈ 𝐵)
41	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 40	selvcl 22479	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
42	20, 21, 22, 5, 14, 32, 33, 34, 39, 41	selvply1rhmlemb 34221	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
43	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
45	1, 4, 44, 38, 40	ringcld 20514	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝑔(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐵)
46	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 45, 25	selvply1rhmlem5 34226	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))))
47	6, 1, 4, 11, 21, 22, 43, 35, 37, 38, 40	selvmul 22483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
48	47	fveq2d 6912	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
49	46, 48	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
50	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 25	selvply1rhmlem5 34226	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘𝑔) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)))
51	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 40, 25	selvply1rhmlem5 34226	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘ℎ) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
52	50, 51	oveq12d 7461	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
53	42, 49, 52	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
54	53	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
55		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
56		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
57		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
58	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem1 34222	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
59	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 40	selvply1rhmlem4 34225	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
60	59	anasss 472	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 10, 16, 19, 54, 55, 56, 57, 58, 60	isrhmd 20752	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497   ↑_m cmap 8875  ℕ₀cn0 12633  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490   RingHom crh 20729   mPoly cmpl 22244   selectVars cslv 22455  Poly₁cpl1 22525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-srg 20443  df-ring 20491  df-cring 20492  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-assa 22191  df-asp 22192  df-ascl 22193  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-evls 22413  df-evl 22414  df-selv 22456  df-psr1 22528  df-ply1 22530

This theorem is used by:  mplidomlem  34229