Theorem selvply1rhm 33709

Description: Build a ring homomorphism 𝐻 between the multivariate polynomials 𝑃 with variables in 𝐼 and the univariate polynomials 𝑄 in a single variable 𝑋 element of 𝐼. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvply1rhm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvply1rhm.2	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvply1rhm.3	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
selvply1rhm.4	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
selvply1rhm.5	⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
selvply1rhm.6	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvply1rhm.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
selvply1rhm.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvply1rhm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑛   𝑛,𝐻   𝑓,𝐼,𝑛   𝑃,𝑓,𝑛   𝑄,𝑓,𝑛   𝑅,𝑓,𝑛   𝑈,𝑓,𝑛   𝑓,𝑋,𝑛   𝜑,𝑓,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑛)

Proof of Theorem selvply1rhm

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑞 𝑟 𝑠 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvply1rhm.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2739	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
3		eqid 2739	. 2 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4		eqid 2739	. 2 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
5		eqid 2739	. 2 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
6		selvply1rhm.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		selvply1rhm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		selvply1rhm.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
9	8	crngringd 20218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	6, 7, 9	mplringd 21997	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
11		selvply1rhm.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ {𝑋}) mPoly 𝑅)
12	7	difexd 5259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑋}) ∈ V)
13	11, 12, 9	mplringd 21997	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
14		selvply1rhm.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝑈)
15	14	ply1ring 22232	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		selvply1rhm.5	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑓)‘{⟨𝑋, (𝑛‘∅)⟩})))
18		selvply1rhm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
19	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem2 33705	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(1r‘𝑃)) = (1r‘𝑄))
20		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈))
21		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} mPoly 𝑈) = ({𝑋} mPoly 𝑈)
22		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈)) = (.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))
23		fveq1 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))
24	23	mpteq2dv 5166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
25	24	cbvmptv 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))
26		fveq1 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟‘∅) = (𝑠‘∅))
27	26	opeq2d 4811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩ = ⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩)
28	27	sneqd 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → {⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩} = {⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})
29	28	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}) = (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
30	29	cbvmptv 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})) = (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩}))
31	30	mpteq2i 5168	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
32	25, 31	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩}))) = (𝑞 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑠 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑞‘{⟨𝑋, (𝑠‘∅)⟩})))
33	18	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐼)
34	13	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ Ring)
35	8	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
36	18	snssd 4718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
37	36	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐼)
38		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑔 ∈ 𝐵)
39	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 38	selvcl 22116	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
40		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ℎ ∈ 𝐵)
41	6, 1, 11, 21, 20, 35, 37, 40	selvcl 22116	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ) ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)))
42	20, 21, 22, 5, 14, 32, 33, 34, 39, 41	selvply1rhmlemb 33703	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
43	7	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
44	10	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
45	1, 4, 44, 38, 40	ringcld 20232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝑔(.r‘𝑃)ℎ) ∈ 𝐵)
46	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 45, 25	selvply1rhmlem5 33708	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))))
47	6, 1, 4, 11, 21, 22, 43, 35, 37, 38, 40	selvmul 22120	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
48	47	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ))) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
49	46, 48	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘((((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)(.r‘({𝑋} mPoly 𝑈))(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
50	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 25	selvply1rhmlem5 33708	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘𝑔) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔)))
51	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 40, 25	selvply1rhmlem5 33708	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘ℎ) = ((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ)))
52	50, 51	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)) = (((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘𝑔))(.r‘𝑄)((𝑝 ∈ (Base‘({𝑋} mPoly 𝑈)) ↦ (𝑟 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑝‘{⟨𝑋, (𝑟‘∅)⟩})))‘(((𝐼 selectVars 𝑅)‘{𝑋})‘ℎ))))
53	42, 49, 52	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
54	53	anasss 467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(.r‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(.r‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
55		eqid 2739	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
56		eqid 2739	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
57		eqid 2739	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
58	1, 6, 11, 14, 17, 7, 18, 8	selvply1rhmlem1 33704	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑄))
59	1, 6, 11, 14, 17, 43, 33, 35, 38, 40	selvply1rhmlem4 33707	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝐵) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
60	59	anasss 467	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐵 ∧ ℎ ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑔(+g‘𝑃)ℎ)) = ((𝐻‘𝑔)(+g‘𝑄)(𝐻‘ℎ)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 10, 16, 19, 54, 55, 56, 57, 58, 60	isrhmd 20459	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 RingHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555  ⟨cop 4561   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8763  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206   RingHom crh 20440   mPoly cmpl 21881   selectVars cslv 22092  Poly₁cpl1 22162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-evls 22050  df-evl 22051  df-selv 22093  df-psr1 22165  df-ply1 22167

This theorem is referenced by:  mplidomlem  33711