Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgf 33346
Description: The integral for simple functions is itself a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sitgf.1 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)) β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sitgf (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀):dom (π‘Šsitg𝑀)⟢𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝑀   𝑆,𝑓   𝑓,π‘Š   0 ,𝑓   Β· ,𝑓   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem sitgf
Dummy variables 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6587 . . . 4 Fun (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))
2 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . . . 6 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . . . 6 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sitgval 33331 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))))
1110funeqd 6571 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Fun (π‘Šsitg𝑀) ↔ Fun (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))))
121, 11mpbiri 258 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (π‘Šsitg𝑀))
1312funfnd 6580 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀) Fn dom (π‘Šsitg𝑀))
14 sitgf.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)) β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
1514ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
16 fnfvrnss 7120 . . 3 (((π‘Šsitg𝑀) Fn dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡) β†’ ran (π‘Šsitg𝑀) βŠ† 𝐡)
1713, 15, 16syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran (π‘Šsitg𝑀) βŠ† 𝐡)
18 df-f 6548 . 2 ((π‘Šsitg𝑀):dom (π‘Šsitg𝑀)⟢𝐡 ↔ ((π‘Šsitg𝑀) Fn dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ ran (π‘Šsitg𝑀) βŠ† 𝐡))
1913, 17, 18sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀):dom (π‘Šsitg𝑀)⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  [,)cico 13326  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  β„Homcrrh 32973  sigaGencsigagen 33136  measurescmeas 33193  MblFnMcmbfm 33247  sitgcsitg 33328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-sitg 33329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator