Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgf 32987
Description: The integral for simple functions is itself a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sitgf.1 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)) β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
sitgf (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀):dom (π‘Šsitg𝑀)⟢𝐡)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝑀   𝑆,𝑓   𝑓,π‘Š   0 ,𝑓   Β· ,𝑓   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem sitgf
Dummy variables 𝑔 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6544 . . . 4 Fun (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))
2 sitgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
4 sitgval.s . . . . . 6 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
5 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 sitgval.x . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 sitgval.h . . . . . 6 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
8 sitgval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
9 sitgval.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sitgval 32972 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))))
1110funeqd 6528 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Fun (π‘Šsitg𝑀) ↔ Fun (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆) ∣ (ran 𝑔 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (ran 𝑔 βˆ– { 0 })(π‘€β€˜(◑𝑔 β€œ {π‘₯})) ∈ (0[,)+∞))} ↦ (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran 𝑓 βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(◑𝑓 β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))))
121, 11mpbiri 258 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (π‘Šsitg𝑀))
1312funfnd 6537 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀) Fn dom (π‘Šsitg𝑀))
14 sitgf.1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)) β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
1514ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡)
16 fnfvrnss 7073 . . 3 (((π‘Šsitg𝑀) Fn dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ βˆ€π‘“ ∈ dom (π‘Šsitg𝑀)((π‘Šsitg𝑀)β€˜π‘“) ∈ 𝐡) β†’ ran (π‘Šsitg𝑀) βŠ† 𝐡)
1713, 15, 16syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ran (π‘Šsitg𝑀) βŠ† 𝐡)
18 df-f 6505 . 2 ((π‘Šsitg𝑀):dom (π‘Šsitg𝑀)⟢𝐡 ↔ ((π‘Šsitg𝑀) Fn dom (π‘Šsitg𝑀) ∧ ran (π‘Šsitg𝑀) βŠ† 𝐡))
1913, 17, 18sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ (π‘Šsitg𝑀):dom (π‘Šsitg𝑀)⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  [,)cico 13273  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  TopOpenctopn 17310  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  β„Homcrrh 32614  sigaGencsigagen 32777  measurescmeas 32834  MblFnMcmbfm 32888  sitgcsitg 32969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-sitg 32970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator