Theorem sitg0 34349

Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitg0.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
sitg0	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sitg0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
10		sitg0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sibf0 34337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	sitgfval 34344	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13		rnxpss 6191	. . . . . . 7 ⊢ ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14		ssdif0 4365	. . . . . . 7 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
15	13, 14	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16		mpteq1 5234	. . . . . 6 ⊢ ((ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18		mpt0 6709	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
19	17, 18	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
20	19	oveq2i 7443	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
21	4	gsum0 18698	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg ∅) = 0
22	20, 21	eqtri 2764	. 2 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
23	12, 22	eqtrdi 2792	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625  ∪ cuni 4906   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  TopOpenctopn 17467  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748  TopSpctps 22939  ℝHomcrrh 33995  sigaGencsigagen 34140  measurescmeas 34197  sitgcsitg 34332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-map 8869  df-en 8987  df-fin 8990  df-seq 14044  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-esum 34030  df-siga 34111  df-sigagen 34141  df-meas 34198  df-mbfm 34252  df-sitg 34333

This theorem is referenced by: (None)