Theorem sitg0 34653

Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitg0.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
sitg0	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sitg0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
10		sitg0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sibf0 34641	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	sitgfval 34648	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13		rnxpss 6162	. . . . . . 7 ⊢ ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14		ssdif0 4322	. . . . . . 7 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
15	13, 14	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16		mpteq1 5194	. . . . . 6 ⊢ ((ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18		mpt0 6667	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
19	17, 18	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
20	19	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
21	4	gsum0 18732	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg ∅) = 0
22	20, 21	eqtri 2788	. 2 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
23	12, 22	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585  ∪ cuni 4868   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651  dom cdm 5652  ran crn 5653   “ cima 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  TopOpenctopn 17464  0_gc0g 17482   Σ_g cgsu 17483  Mndcmnd 18782  TopSpctps 23050  ℝHomcrrh 34300  sigaGencsigagen 34445  measurescmeas 34502  sitgcsitg 34636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-map 8814  df-en 8932  df-fin 8935  df-seq 14029  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-esum 34335  df-siga 34416  df-sigagen 34446  df-meas 34503  df-mbfm 34557  df-sitg 34637

This theorem is referenced by: (None)