Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitg0 31503
Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitg0.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sitg0 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sitg0.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
10 sitg0.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sibf0 31491 . . 3 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11sitgfval 31498 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13 rnxpss 6022 . . . . . . 7 ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14 ssdif0 4320 . . . . . . 7 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
1513, 14mpbi 231 . . . . . 6 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16 mpteq1 5145 . . . . . 6 ((ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18 mpt0 6483 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
1917, 18eqtri 2841 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
2019oveq2i 7156 . . 3 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
214gsum0 17882 . . 3 (𝑊 Σg ∅) = 0
2220, 21eqtri 2841 . 2 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
2312, 22syl6eq 2869 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   cuni 4830  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  TopOpenctopn 16683  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  Mndcmnd 17899  TopSpctps 21468  ℝHomcrrh 31133  sigaGencsigagen 31296  measurescmeas 31353  sitgcsitg 31486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-map 8397  df-en 8498  df-fin 8501  df-seq 13358  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-esum 31186  df-siga 31267  df-sigagen 31297  df-meas 31354  df-mbfm 31408  df-sitg 31487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator