Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitg0 31281
Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitg0.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sitg0 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sitg0.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
10 sitg0.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sibf0 31269 . . 3 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11sitgfval 31276 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13 rnxpss 5866 . . . . . . 7 ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14 ssdif0 4203 . . . . . . 7 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
1513, 14mpbi 222 . . . . . 6 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16 mpteq1 5011 . . . . . 6 ((ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18 mpt0 6317 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
1917, 18eqtri 2795 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
2019oveq2i 6985 . . 3 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
214gsum0 17758 . . 3 (𝑊 Σg ∅) = 0
2220, 21eqtri 2795 . 2 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
2312, 22syl6eq 2823 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  cdif 3819  wss 3822  c0 4172  {csn 4435   cuni 4708  cmpt 5004   × cxp 5401  ccnv 5402  dom cdm 5403  ran crn 5404  cima 5406  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  Scalarcsca 16422   ·𝑠 cvsca 16423  TopOpenctopn 16549  0gc0g 16567   Σg cgsu 16568  Mndcmnd 17774  TopSpctps 21259  ℝHomcrrh 30910  sigaGencsigagen 31074  measurescmeas 31131  sitgcsitg 31264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-map 8206  df-en 8305  df-fin 8308  df-seq 13183  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-esum 30963  df-siga 31044  df-sigagen 31075  df-meas 31132  df-mbfm 31186  df-sitg 31265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator