Theorem sitg0 34345

Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitg0.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
sitg0	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sitg0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
10		sitg0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sibf0 34333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	sitgfval 34340	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13		rnxpss 6153	. . . . . . 7 ⊢ ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14		ssdif0 4337	. . . . . . 7 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
15	13, 14	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16		mpteq1 5204	. . . . . 6 ⊢ ((ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18		mpt0 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
19	17, 18	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
20	19	oveq2i 7405	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
21	4	gsum0 18617	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg ∅) = 0
22	20, 21	eqtri 2753	. 2 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
23	12, 22	eqtrdi 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3919   ⊆ wss 3922  ∅c0 4304  {csn 4597  ∪ cuni 4879   ↦ cmpt 5196   × cxp 5644  ^◡ccnv 5645  dom cdm 5646  ran crn 5647   “ cima 5649  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  TopOpenctopn 17390  0_gc0g 17408   Σ_g cgsu 17409  Mndcmnd 18667  TopSpctps 22825  ℝHomcrrh 33991  sigaGencsigagen 34136  measurescmeas 34193  sitgcsitg 34328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-map 8805  df-en 8923  df-fin 8926  df-seq 13977  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-esum 34026  df-siga 34107  df-sigagen 34137  df-meas 34194  df-mbfm 34248  df-sitg 34329

This theorem is referenced by: (None)