Theorem sitg0 34354

Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitg0.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
sitg0	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sitg0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
10		sitg0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sibf0 34342	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	sitgfval 34349	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13		rnxpss 6119	. . . . . . 7 ⊢ ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14		ssdif0 4316	. . . . . . 7 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
15	13, 14	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16		mpteq1 5180	. . . . . 6 ⊢ ((ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18		mpt0 6623	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
19	17, 18	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
20	19	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
21	4	gsum0 18589	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg ∅) = 0
22	20, 21	eqtri 2754	. 2 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
23	12, 22	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576  ∪ cuni 4859   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  TopOpenctopn 17322  0_gc0g 17340   Σ_g cgsu 17341  Mndcmnd 18639  TopSpctps 22845  ℝHomcrrh 34001  sigaGencsigagen 34146  measurescmeas 34203  sitgcsitg 34337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-map 8752  df-en 8870  df-fin 8873  df-seq 13906  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-esum 34036  df-siga 34117  df-sigagen 34147  df-meas 34204  df-mbfm 34258  df-sitg 34338

This theorem is referenced by: (None)