Theorem sitg0 35048

Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
sitgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s	⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
sitgval.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
sitgval.h	⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
sitgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
sitg0.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)

Assertion

Ref	Expression
sitg0	⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sitgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		sitgval.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3		sitgval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4		sitgval.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		sitgval.x	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		sitgval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7		sitgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
8		sitgval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ∪ ran measures)
9		sitg0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ TopSp)
10		sitg0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Mnd)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sibf0 35036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	sitgfval 35043	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13		rnxpss 6176	. . . . . . 7 ⊢ ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14		ssdif0 4317	. . . . . . 7 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
15	13, 14	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16		mpteq1 5197	. . . . . 6 ⊢ ((ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18		mpt0 6703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
19	17, 18	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
20	19	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
21	4	gsum0 18902	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg ∅) = 0
22	20, 21	eqtri 2786	. 2 ⊢ (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran (∪ dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(◡(∪ dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
23	12, 22	eqtrdi 2814	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘(∪ dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  TopOpenctopn 17621  0_gc0g 17639   Σ_g cgsu 17640  Mndcmnd 18952  TopSpctps 23280  ℝHomcrrh 34695  sigaGencsigagen 34841  measurescmeas 34898  sitgcsitg 35031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-map 8877  df-en 9002  df-fin 9005  df-seq 14172  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-esum 34730  df-siga 34811  df-sigagen 34842  df-meas 34899  df-mbfm 34953  df-sitg 35032

This theorem is used by: (None)