Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitg0 32358
Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitg0.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sitg0 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sitg0.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
10 sitg0.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sibf0 32346 . . 3 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11sitgfval 32353 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13 rnxpss 6090 . . . . . . 7 ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14 ssdif0 4303 . . . . . . 7 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
1513, 14mpbi 229 . . . . . 6 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16 mpteq1 5174 . . . . . 6 ((ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18 mpt0 6605 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
1917, 18eqtri 2764 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
2019oveq2i 7318 . . 3 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
214gsum0 18413 . . 3 (𝑊 Σg ∅) = 0
2220, 21eqtri 2764 . 2 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
2312, 22eqtrdi 2792 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  cdif 3889  wss 3892  c0 4262  {csn 4565   cuni 4844  cmpt 5164   × cxp 5598  ccnv 5599  dom cdm 5600  ran crn 5601  cima 5603  cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  Scalarcsca 17010   ·𝑠 cvsca 17011  TopOpenctopn 17177  0gc0g 17195   Σg cgsu 17196  Mndcmnd 18430  TopSpctps 22126  ℝHomcrrh 31988  sigaGencsigagen 32151  measurescmeas 32208  sitgcsitg 32341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-map 8648  df-en 8765  df-fin 8768  df-seq 13768  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-esum 32041  df-siga 32122  df-sigagen 32152  df-meas 32209  df-mbfm 32263  df-sitg 32342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator