Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitg0 33345
Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sitg0.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sitg0.2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sitg0 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 sitgval.x . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
7 sitgval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
9 sitg0.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
10 sitg0.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Mnd)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sibf0 33333 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11sitgfval 33340 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 })) = (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))))
13 rnxpss 6172 . . . . . . 7 ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βŠ† { 0 }
14 ssdif0 4364 . . . . . . 7 (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βŠ† { 0 } ↔ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…)
1513, 14mpbi 229 . . . . . 6 (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ…
16 mpteq1 5242 . . . . . 6 ((ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))
18 mpt0 6693 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) = βˆ…
1917, 18eqtri 2761 . . . 4 (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯)) = βˆ…
2019oveq2i 7420 . . 3 (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) = (π‘Š Ξ£g βˆ…)
214gsum0 18603 . . 3 (π‘Š Ξ£g βˆ…) = 0
2220, 21eqtri 2761 . 2 (π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ (ran (βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) βˆ– { 0 }) ↦ ((π»β€˜(π‘€β€˜(β—‘(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 }) β€œ {π‘₯}))) Β· π‘₯))) = 0
2312, 22eqtrdi 2789 1 (πœ‘ β†’ ((π‘Šsitg𝑀)β€˜(βˆͺ dom 𝑀 Γ— { 0 })) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  TopOpenctopn 17367  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625  TopSpctps 22434  β„Homcrrh 32973  sigaGencsigagen 33136  measurescmeas 33193  sitgcsitg 33328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-seq 13967  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-esum 33026  df-siga 33107  df-sigagen 33137  df-meas 33194  df-mbfm 33248  df-sitg 33329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator