Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smorndom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smorndom 8003
 Description: The range of a strictly monotone ordinal function dominates the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smorndom ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem smorndom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴𝐵)
21ffnd 6493 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Smo 𝐹)
4 smodm2 7990 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
52, 3, 4syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Ord 𝐴)
6 ordelord 6186 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → Ord 𝑥)
75, 6sylancom 591 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Ord 𝑥)
8 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Ord 𝐵)
9 simpr 488 . . . . 5 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 smogt 8002 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹𝑥𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
112, 3, 9, 10syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥))
12 ffvelrn 6833 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
13123ad2antl1 1182 . . . 4 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
14 ordtr2 6208 . . . . 5 ((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) → ((𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵))
1514imp 410 . . . 4 (((Ord 𝑥 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥 ⊆ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝑥𝐵)
167, 8, 11, 13, 15syl22anc 837 . . 3 (((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1716ex 416 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
1817ssrdv 3922 1 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3882  Ord word 6163   Fn wfn 6324  ⟶wf 6325  ‘cfv 6329  Smo wsmo 7980 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-ord 6167  df-on 6168  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-fv 6337  df-smo 7981 This theorem is referenced by:  cofsmo  9695  hsmexlem1  9852
 Copyright terms: Public domain W3C validator