Theorem sspsval 30818

Description: Scalar multiplication on a subspace in terms of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssps.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
ssps.s	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ssps.r	⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
ssps.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspsval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))

Proof of Theorem sspsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssps.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		ssps.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
3		ssps.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
4		ssps.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	ssps 30817	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑅 = (𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌)))
6	5	oveqd 7385	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴(𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌))𝐵))
7		ovres 7534	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌))𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))
8	6, 7	sylan9eq 2792	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5630   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  NrmCVeccnv 30671  BaseSetcba 30673   ·_𝑠OLD cns 30674  SubSpcss 30808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-nmcv 30687  df-ssp 30809

This theorem is referenced by:  sspmval  30820  minvecolem2  30962  hhshsslem2  31355