Theorem sspsval 30713

Description: Scalar multiplication on a subspace in terms of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssps.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
ssps.s	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ssps.r	⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
ssps.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspsval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))

Proof of Theorem sspsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssps.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2		ssps.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
3		ssps.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
4		ssps.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	ssps 30712	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑅 = (𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌)))
6	5	oveqd 7369	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴(𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌))𝐵))
7		ovres 7518	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝑆 ↾ (ℂ × 𝑌))𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))
8	6, 7	sylan9eq 2788	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑅𝐵) = (𝐴𝑆𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5617   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  NrmCVeccnv 30566  BaseSetcba 30568   ·_𝑠OLD cns 30569  SubSpcss 30703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-vc 30541  df-nv 30574  df-va 30577  df-ba 30578  df-sm 30579  df-0v 30580  df-nmcv 30582  df-ssp 30704

This theorem is referenced by:  sspmval  30715  minvecolem2  30857  hhshsslem2  31250