MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspsval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspsval 30489
Description: Scalar multiplication on a subspace in terms of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ssps.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
ssps.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ssps.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
ssps.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspsval (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝑅𝐡) = (𝐴𝑆𝐡))
Proof of Theorem sspsval
StepHypRef Expression
1 ssps.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
2 ssps.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
3 ssps.r . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
4 ssps.h . . . 4 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4ssps 30488 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
65oveqd 7421 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝑅𝐡) = (𝐴(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝐡))
7 ovres 7569 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝐡) = (𝐴𝑆𝐡))
86, 7sylan9eq 2786 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝑅𝐡) = (𝐴𝑆𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  NrmCVeccnv 30342  BaseSetcba 30344   ·𝑠OLD cns 30345  SubSpcss 30479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-nmcv 30358  df-ssp 30480
This theorem is referenced by:  sspmval  30491  minvecolem2  30633  hhshsslem2  31026
  Copyright terms: Public domain W3C validator