MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspsval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspsval 30561
Description: Scalar multiplication on a subspace in terms of scalar multiplication on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ssps.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
ssps.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ssps.r 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
ssps.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspsval (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝑅𝐡) = (𝐴𝑆𝐡))
Proof of Theorem sspsval
StepHypRef Expression
1 ssps.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
2 ssps.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
3 ssps.r . . . 4 𝑅 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
4 ssps.h . . . 4 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4ssps 30560 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑅 = (𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ)))
65oveqd 7443 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐴𝑅𝐡) = (𝐴(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝐡))
7 ovres 7593 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(𝑆 β†Ύ (β„‚ Γ— π‘Œ))𝐡) = (𝐴𝑆𝐡))
86, 7sylan9eq 2788 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝑅𝐡) = (𝐴𝑆𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  NrmCVeccnv 30414  BaseSetcba 30416   ·𝑠OLD cns 30417  SubSpcss 30551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-nmcv 30430  df-ssp 30552
This theorem is referenced by:  sspmval  30563  minvecolem2  30705  hhshsslem2  31098
  Copyright terms: Public domain W3C validator