MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspmval 30762
Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
sspm.l 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
sspm.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspmval (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval
StepHypRef Expression
1 sspm.h . . . . . . . 8 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 30755 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 12378 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
4 sspm.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
64, 5nvscl 30655 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
73, 6mp3an2 1448 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
87ex 412 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵𝑌 → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
92, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌 → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
109anim2d 612 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
1110imp 406 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12 eqid 2735 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
13 eqid 2735 . . . . 5 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
144, 12, 13, 1sspgval 30758 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
1511, 14syldan 591 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
16 eqid 2735 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
174, 16, 5, 1sspsval 30760 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
183, 17mpanr1 703 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
1918adantrl 716 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
2019oveq2d 7447 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
2115, 20eqtrd 2775 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
22 sspm.l . . . . 5 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
234, 13, 5, 22nvmval 30671 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
24233expb 1119 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
252, 24sylan 580 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
26 eqid 2735 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2726, 4, 1sspba 30756 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
2827sseld 3994 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐴𝑌𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2927sseld 3994 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
3028, 29anim12d 609 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
3130imp 406 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32 sspm.m . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3326, 12, 16, 32nvmval 30671 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
34333expb 1119 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3534adantlr 715 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3631, 35syldan 591 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3721, 25, 363eqtr4d 2785 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  NrmCVeccnv 30613   +𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·𝑠OLD cns 30616  𝑣 cnsb 30618  SubSpcss 30750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ssp 30751
This theorem is referenced by:  sspm  30763  sspz  30764  sspimsval  30767
  Copyright terms: Public domain W3C validator