MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspmval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspmval 30490
Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspm.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
sspm.l 𝐿 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
sspm.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspmval (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴𝑀𝐡))
Proof of Theorem sspmval
StepHypRef Expression
1 sspm.h . . . . . . . 8 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 30483 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 12327 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
4 sspm.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
64, 5nvscl 30383 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
73, 6mp3an2 1445 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
87ex 412 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
92, 8syl 17 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
109anim2d 611 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)))
1110imp 406 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
12 eqid 2726 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
13 eqid 2726 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
144, 12, 13, 1sspgval 30486 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
1511, 14syldan 590 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
16 eqid 2726 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
174, 16, 5, 1sspsval 30488 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
183, 17mpanr1 700 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
1918adantrl 713 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
2019oveq2d 7420 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
2115, 20eqtrd 2766 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
22 sspm.l . . . . 5 𝐿 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
234, 13, 5, 22nvmval 30399 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
24233expb 1117 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
252, 24sylan 579 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
26 eqid 2726 . . . . . . 7 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2726, 4, 1sspba 30484 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
2827sseld 3976 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2927sseld 3976 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3028, 29anim12d 608 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))))
3130imp 406 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
32 sspm.m . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
3326, 12, 16, 32nvmval 30399 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
34333expb 1117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3534adantlr 712 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3631, 35syldan 590 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3721, 25, 363eqtr4d 2776 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴𝑀𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  1c1 11110  -cneg 11446  NrmCVeccnv 30341   +𝑣 cpv 30342  BaseSetcba 30343   ·𝑠OLD cns 30344   βˆ’π‘£ cnsb 30346  SubSpcss 30478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ssp 30479
This theorem is referenced by:  sspm  30491  sspz  30492  sspimsval  30495
  Copyright terms: Public domain W3C validator