Theorem sspmval 31215

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
sspm.l	⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
sspm.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 31208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12230	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		sspm.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
6	4, 5	nvscl 31108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	3, 6	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8	7	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
9	2, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
10	9	anim2d 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
11	10	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
14	4, 12, 13, 1	sspgval 31211	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
15	11, 14	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
16		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	4, 16, 5, 1	sspsval 31213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
18	3, 17	mpanr1 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
19	18	adantrl 729	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
20	19	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	15, 20	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
22		sspm.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
23	4, 13, 5, 22	nvmval 31124	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
24	23	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
25	2, 24	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
26		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
27	26, 4, 1	sspba 31209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
28	27	sseld 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
29	27	sseld 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
30	28, 29	anim12d 621	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
31	30	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32		sspm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
33	26, 12, 16, 32	nvmval 31124	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
34	33	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
35	34	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
36	31, 35	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
37	21, 25, 36	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  1c1 11128  -cneg 11469  NrmCVeccnv 31066   +_𝑣 cpv 31067  BaseSetcba 31068   ·_𝑠OLD cns 31069   −_𝑣 cnsb 31071  SubSpcss 31203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ssp 31204

This theorem is used by:  sspm  31216  sspz  31217  sspimsval  31220