MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspmval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspmval 30563
Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspm.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
sspm.l 𝐿 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
sspm.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspmval (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴𝑀𝐡))
Proof of Theorem sspmval
StepHypRef Expression
1 sspm.h . . . . . . . 8 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 30556 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 12364 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
4 sspm.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
5 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
64, 5nvscl 30456 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
73, 6mp3an2 1445 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
87ex 411 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
92, 8syl 17 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
109anim2d 610 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)))
1110imp 405 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
12 eqid 2728 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
13 eqid 2728 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
144, 12, 13, 1sspgval 30559 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
1511, 14syldan 589 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
16 eqid 2728 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
174, 16, 5, 1sspsval 30561 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
183, 17mpanr1 701 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
1918adantrl 714 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
2019oveq2d 7442 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
2115, 20eqtrd 2768 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
22 sspm.l . . . . 5 𝐿 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
234, 13, 5, 22nvmval 30472 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
24233expb 1117 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
252, 24sylan 578 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
26 eqid 2728 . . . . . . 7 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2726, 4, 1sspba 30557 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
2827sseld 3981 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2927sseld 3981 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3028, 29anim12d 607 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))))
3130imp 405 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
32 sspm.m . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
3326, 12, 16, 32nvmval 30472 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
34333expb 1117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3534adantlr 713 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3631, 35syldan 589 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3721, 25, 363eqtr4d 2778 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴𝑀𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  1c1 11147  -cneg 11483  NrmCVeccnv 30414   +𝑣 cpv 30415  BaseSetcba 30416   ·𝑠OLD cns 30417   βˆ’π‘£ cnsb 30419  SubSpcss 30551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ssp 30552
This theorem is referenced by:  sspm  30564  sspz  30565  sspimsval  30568
  Copyright terms: Public domain W3C validator