Theorem sspmval 30791

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
sspm.l	⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
sspm.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12134	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		sspm.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
6	4, 5	nvscl 30684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	3, 6	mp3an2 1452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
10	9	anim2d 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
14	4, 12, 13, 1	sspgval 30787	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
15	11, 14	syldan 592	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	4, 16, 5, 1	sspsval 30789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
18	3, 17	mpanr1 704	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
19	18	adantrl 717	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
20	19	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	15, 20	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
22		sspm.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
23	4, 13, 5, 22	nvmval 30700	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
24	23	3expb 1121	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
25	2, 24	sylan 581	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
26		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
27	26, 4, 1	sspba 30785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
28	27	sseld 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
29	27	sseld 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
30	28, 29	anim12d 610	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
31	30	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32		sspm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
33	26, 12, 16, 32	nvmval 30700	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
34	33	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
35	34	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
36	31, 35	syldan 592	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
37	21, 25, 36	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  1c1 11031  -cneg 11369  NrmCVeccnv 30642   +_𝑣 cpv 30643  BaseSetcba 30644   ·_𝑠OLD cns 30645   −_𝑣 cnsb 30647  SubSpcss 30779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-grpo 30551  df-gid 30552  df-ginv 30553  df-gdiv 30554  df-ablo 30603  df-vc 30617  df-nv 30650  df-va 30653  df-ba 30654  df-sm 30655  df-0v 30656  df-vs 30657  df-nmcv 30658  df-ssp 30780

This theorem is referenced by:  sspm  30792  sspz  30793  sspimsval  30796