Theorem sspmval 30875

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
sspm.l	⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
sspm.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		sspm.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
6	4, 5	nvscl 30768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	3, 6	mp3an2 1464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8	7	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
10	9	anim2d 620	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
11	10	imp 409	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
13		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
14	4, 12, 13, 1	sspgval 30871	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
15	11, 14	syldan 599	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
16		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	4, 16, 5, 1	sspsval 30873	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
18	3, 17	mpanr1 711	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
19	18	adantrl 724	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
20	19	oveq2d 7401	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	15, 20	eqtrd 2791	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
22		sspm.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
23	4, 13, 5, 22	nvmval 30784	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
24	23	3expb 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
25	2, 24	sylan 588	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
26		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
27	26, 4, 1	sspba 30869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
28	27	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
29	27	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
30	28, 29	anim12d 617	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
31	30	imp 409	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32		sspm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
33	26, 12, 16, 32	nvmval 30784	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
34	33	3expb 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
35	34	adantlr 723	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
36	31, 35	syldan 599	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
37	21, 25, 36	3eqtr4d 2801	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  1c1 11064  -cneg 11405  NrmCVeccnv 30726   +_𝑣 cpv 30727  BaseSetcba 30728   ·_𝑠OLD cns 30729   −_𝑣 cnsb 30731  SubSpcss 30863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-ltxr 11211  df-sub 11406  df-neg 11407  df-grpo 30635  df-gid 30636  df-ginv 30637  df-gdiv 30638  df-ablo 30687  df-vc 30701  df-nv 30734  df-va 30737  df-ba 30738  df-sm 30739  df-0v 30740  df-vs 30741  df-nmcv 30742  df-ssp 30864

This theorem is referenced by:  sspm  30876  sspz  30877  sspimsval  30880