Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspmval 28560
 Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
sspm.l 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
sspm.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspmval (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval
StepHypRef Expression
1 sspm.h . . . . . . . 8 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 28553 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 11757 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
4 sspm.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
64, 5nvscl 28453 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
73, 6mp3an2 1446 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
87ex 416 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵𝑌 → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
92, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌 → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
109anim2d 614 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
1110imp 410 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12 eqid 2798 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
13 eqid 2798 . . . . 5 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
144, 12, 13, 1sspgval 28556 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
1511, 14syldan 594 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
16 eqid 2798 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
174, 16, 5, 1sspsval 28558 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
183, 17mpanr1 702 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
1918adantrl 715 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
2019oveq2d 7161 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
2115, 20eqtrd 2833 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
22 sspm.l . . . . 5 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
234, 13, 5, 22nvmval 28469 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
24233expb 1117 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
252, 24sylan 583 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
26 eqid 2798 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2726, 4, 1sspba 28554 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
2827sseld 3916 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐴𝑌𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2927sseld 3916 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
3028, 29anim12d 611 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
3130imp 410 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32 sspm.m . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3326, 12, 16, 32nvmval 28469 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
34333expb 1117 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3534adantlr 714 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3631, 35syldan 594 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3721, 25, 363eqtr4d 2843 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  1c1 10545  -cneg 10878  NrmCVeccnv 28411   +𝑣 cpv 28412  BaseSetcba 28413   ·𝑠OLD cns 28414   −𝑣 cnsb 28416  SubSpcss 28548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-ltxr 10687  df-sub 10879  df-neg 10880  df-grpo 28320  df-gid 28321  df-ginv 28322  df-gdiv 28323  df-ablo 28372  df-vc 28386  df-nv 28419  df-va 28422  df-ba 28423  df-sm 28424  df-0v 28425  df-vs 28426  df-nmcv 28427  df-ssp 28549 This theorem is referenced by:  sspm  28561  sspz  28562  sspimsval  28565
 Copyright terms: Public domain W3C validator