Theorem sspmval 30994

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
sspm.l	⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
sspm.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		sspm.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
6	4, 5	nvscl 30887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	3, 6	mp3an2 1473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8	7	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
9	2, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
10	9	anim2d 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
11	10	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
13		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
14	4, 12, 13, 1	sspgval 30990	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
15	11, 14	syldan 602	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
16		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	4, 16, 5, 1	sspsval 30992	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
18	3, 17	mpanr1 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
19	18	adantrl 728	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
20	19	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	15, 20	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
22		sspm.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
23	4, 13, 5, 22	nvmval 30903	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
24	23	3expb 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
25	2, 24	sylan 591	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
26		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
27	26, 4, 1	sspba 30988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
28	27	sseld 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
29	27	sseld 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
30	28, 29	anim12d 620	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
31	30	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32		sspm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
33	26, 12, 16, 32	nvmval 30903	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
34	33	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
35	34	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
36	31, 35	syldan 602	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
37	21, 25, 36	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089  -cneg 11430  NrmCVeccnv 30845   +_𝑣 cpv 30846  BaseSetcba 30847   ·_𝑠OLD cns 30848   −_𝑣 cnsb 30850  SubSpcss 30982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431  df-neg 11432  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ssp 30983

This theorem is referenced by:  sspm  30995  sspz  30996  sspimsval  30999