Theorem sspmval 30724

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
sspm.l	⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
sspm.h	⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
2	1	sspnv 30717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3		neg1cn 12120	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		sspm.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
6	4, 5	nvscl 30617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
7	3, 6	mp3an2 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
8	7	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
9	2, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
10	9	anim2d 612	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
13		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
14	4, 12, 13, 1	sspgval 30720	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
15	11, 14	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
16		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	4, 16, 5, 1	sspsval 30722	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
18	3, 17	mpanr1 703	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
19	18	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵))
20	19	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
21	15, 20	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
22		sspm.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ( −𝑣 ‘𝑊)
23	4, 13, 5, 22	nvmval 30633	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
24	23	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
25	2, 24	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑊)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝐵)))
26		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
27	26, 4, 1	sspba 30718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
28	27	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝑌 → 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
29	27	sseld 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐵 ∈ 𝑌 → 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
30	28, 29	anim12d 609	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
31	30	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32		sspm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
33	26, 12, 16, 32	nvmval 30633	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
34	33	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
35	34	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
36	31, 35	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)))
37	21, 25, 36	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑌 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  1c1 11017  -cneg 11355  NrmCVeccnv 30575   +_𝑣 cpv 30576  BaseSetcba 30577   ·_𝑠OLD cns 30578   −_𝑣 cnsb 30580  SubSpcss 30712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356  df-neg 11357  df-grpo 30484  df-gid 30485  df-ginv 30486  df-gdiv 30487  df-ablo 30536  df-vc 30550  df-nv 30583  df-va 30586  df-ba 30587  df-sm 30588  df-0v 30589  df-vs 30590  df-nmcv 30591  df-ssp 30713

This theorem is referenced by:  sspm  30725  sspz  30726  sspimsval  30729