MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspmval 30752
Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
sspm.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
sspm.l 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
sspm.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspmval (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))

Proof of Theorem sspmval
StepHypRef Expression
1 sspm.h . . . . . . . 8 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
21sspnv 30745 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 12380 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
4 sspm.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
64, 5nvscl 30645 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
73, 6mp3an2 1451 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)
87ex 412 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝐵𝑌 → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
92, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌 → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
109anim2d 612 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)))
1110imp 406 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌))
12 eqid 2737 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
13 eqid 2737 . . . . 5 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
144, 12, 13, 1sspgval 30748 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) ∈ 𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
1511, 14syldan 591 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
16 eqid 2737 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
174, 16, 5, 1sspsval 30750 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
183, 17mpanr1 703 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐵𝑌) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
1918adantrl 716 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵) = (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))
2019oveq2d 7447 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
2115, 20eqtrd 2777 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
22 sspm.l . . . . 5 𝐿 = ( −𝑣𝑊)
234, 13, 5, 22nvmval 30661 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
24233expb 1121 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
252, 24sylan 580 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑊)(-1( ·𝑠OLD𝑊)𝐵)))
26 eqid 2737 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2726, 4, 1sspba 30746 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ⊆ (BaseSet‘𝑈))
2827sseld 3982 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐴𝑌𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
2927sseld 3982 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → (𝐵𝑌𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
3028, 29anim12d 609 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → ((𝐴𝑌𝐵𝑌) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))))
3130imp 406 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)))
32 sspm.m . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3326, 12, 16, 32nvmval 30661 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
34333expb 1121 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3534adantlr 715 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (BaseSet‘𝑈))) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3631, 35syldan 591 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
3721, 25, 363eqtr4d 2787 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐴𝑌𝐵𝑌)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐴𝑀𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156  -cneg 11493  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608  SubSpcss 30740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ssp 30741
This theorem is referenced by:  sspm  30753  sspz  30754  sspimsval  30757
  Copyright terms: Public domain W3C validator