MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspmval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspmval 29973
Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspm.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspm.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
sspm.l 𝐿 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
sspm.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspmval (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴𝑀𝐡))
Proof of Theorem sspmval
StepHypRef Expression
1 sspm.h . . . . . . . 8 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
21sspnv 29966 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
3 neg1cn 12322 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
4 sspm.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
64, 5nvscl 29866 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
73, 6mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)
87ex 413 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
92, 8syl 17 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
109anim2d 612 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)))
1110imp 407 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ))
12 eqid 2732 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
13 eqid 2732 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
144, 12, 13, 1sspgval 29969 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
1511, 14syldan 591 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
16 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
174, 16, 5, 1sspsval 29971 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
183, 17mpanr1 701 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
1918adantrl 714 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡) = (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))
2019oveq2d 7421 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
2115, 20eqtrd 2772 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
22 sspm.l . . . . 5 𝐿 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
234, 13, 5, 22nvmval 29882 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
24233expb 1120 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
252, 24sylan 580 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘Š)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)𝐡)))
26 eqid 2732 . . . . . . 7 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2726, 4, 1sspba 29967 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
2827sseld 3980 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2927sseld 3980 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐡 ∈ π‘Œ β†’ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
3028, 29anim12d 609 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))))
3130imp 407 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
32 sspm.m . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
3326, 12, 16, 32nvmval 29882 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
34333expb 1120 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3534adantlr 713 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ 𝐡 ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3631, 35syldan 591 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))
3721, 25, 363eqtr4d 2782 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ π‘Œ ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴𝐿𝐡) = (𝐴𝑀𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  1c1 11107  -cneg 11441  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827   βˆ’π‘£ cnsb 29829  SubSpcss 29961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ssp 29962
This theorem is referenced by:  sspm  29974  sspz  29975  sspimsval  29978
  Copyright terms: Public domain W3C validator