HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhshsslem2 29054
Description: Lemma for hhsssh 29055. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssp3.3 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4 𝐻 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
hhshsslem2 𝐻S

Proof of Theorem hhshsslem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssp3.4 . . 3 𝐻 ⊆ ℋ
2 hhsst.1 . . . . . 6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
32hhnv 28951 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
4 hhssp3.3 . . . . 5 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
52hh0v 28954 . . . . . 6 0 = (0vec𝑈)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
85, 6, 7sspz 28521 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec𝑊) = 0)
93, 4, 8mp2an 691 . . . 4 (0vec𝑊) = 0
107sspnv 28512 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
113, 4, 10mp2an 691 . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
12 eqid 2824 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
1312, 6nvzcl 28420 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5 (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15 hhsst.2 . . . . . 6 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
162, 15, 4, 1hhshsslem1 29053 . . . . 5 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
1714, 16eleqtrri 2915 . . . 4 (0vec𝑊) ∈ 𝐻
189, 17eqeltrri 2913 . . 3 0𝐻
191, 18pm3.2i 474 . 2 (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻)
202hhva 28952 . . . . . . 7 + = ( +𝑣𝑈)
21 eqid 2824 . . . . . . 7 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
2216, 20, 21, 7sspgval 28515 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
233, 4, 22mpanl12 701 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
2416, 21nvgcl 28406 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
2511, 24mp3an1 1445 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
2623, 25eqeltrrd 2917 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
2726rgen2 3198 . . 3 𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻
282hhsm 28955 . . . . . . 7 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
29 eqid 2824 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
3016, 28, 29, 7sspsval 28517 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
313, 4, 30mpanl12 701 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
3216, 29nvscl 28412 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
3311, 32mp3an1 1445 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
3431, 33eqeltrrd 2917 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
3534rgen2 3198 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻
3627, 35pm3.2i 474 . 2 (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
37 issh2 28995 . 2 (𝐻S ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)))
3819, 36, 37mpbir2an 710 1 𝐻S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wss 3919  cop 4556   × cxp 5540  cres 5544  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  NrmCVeccnv 28370   +𝑣 cpv 28371  BaseSetcba 28372   ·𝑠OLD cns 28373  0veccn0v 28374  SubSpcss 28507  chba 28705   + cva 28706   · csm 28707  normcno 28709  0c0v 28710   S csh 28714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ssp 28508  df-hnorm 28754  df-hvsub 28757  df-sh 28993
This theorem is referenced by:  hhsssh  29055
  Copyright terms: Public domain W3C validator