HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhshsslem2 31288
Description: Lemma for hhsssh 31289. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
hhsst.2 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssp3.3 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4 𝐻 ⊆ ℋ
Assertion
Ref Expression
hhshsslem2 𝐻S

Proof of Theorem hhshsslem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssp3.4 . . 3 𝐻 ⊆ ℋ
2 hhsst.1 . . . . . 6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
32hhnv 31185 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
4 hhssp3.3 . . . . 5 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
52hh0v 31188 . . . . . 6 0 = (0vec𝑈)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
85, 6, 7sspz 30755 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec𝑊) = 0)
93, 4, 8mp2an 692 . . . 4 (0vec𝑊) = 0
107sspnv 30746 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
113, 4, 10mp2an 692 . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
12 eqid 2736 . . . . . . 7 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
1312, 6nvzcl 30654 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
1411, 13ax-mp 5 . . . . 5 (0vec𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15 hhsst.2 . . . . . 6 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
162, 15, 4, 1hhshsslem1 31287 . . . . 5 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
1714, 16eleqtrri 2839 . . . 4 (0vec𝑊) ∈ 𝐻
189, 17eqeltrri 2837 . . 3 0𝐻
191, 18pm3.2i 470 . 2 (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻)
202hhva 31186 . . . . . . 7 + = ( +𝑣𝑈)
21 eqid 2736 . . . . . . 7 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
2216, 20, 21, 7sspgval 30749 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥𝐻𝑦𝐻)) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
233, 4, 22mpanl12 702 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
2416, 21nvgcl 30640 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
2511, 24mp3an1 1449 . . . . 5 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥( +𝑣𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
2623, 25eqeltrrd 2841 . . . 4 ((𝑥𝐻𝑦𝐻) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻)
2726rgen2 3198 . . 3 𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻
282hhsm 31189 . . . . . . 7 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
29 eqid 2736 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
3016, 28, 29, 7sspsval 30751 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
313, 4, 30mpanl12 702 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
3216, 29nvscl 30646 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
3311, 32mp3an1 1449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
3431, 33eqeltrrd 2841 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐻) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
3534rgen2 3198 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻
3627, 35pm3.2i 470 . 2 (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)
37 issh2 31229 . 2 (𝐻S ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0𝐻) ∧ (∀𝑥𝐻𝑦𝐻 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝐻 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐻)))
3819, 36, 37mpbir2an 711 1 𝐻S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950  cop 4631   × cxp 5682  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  NrmCVeccnv 30604   +𝑣 cpv 30605  BaseSetcba 30606   ·𝑠OLD cns 30607  0veccn0v 30608  SubSpcss 30741  chba 30939   + cva 30940   · csm 30941  normcno 30943  0c0v 30944   S csh 30948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-hilex 31019  ax-hfvadd 31020  ax-hvcom 31021  ax-hvass 31022  ax-hv0cl 31023  ax-hvaddid 31024  ax-hfvmul 31025  ax-hvmulid 31026  ax-hvmulass 31027  ax-hvdistr1 31028  ax-hvdistr2 31029  ax-hvmul0 31030  ax-hfi 31099  ax-his1 31102  ax-his2 31103  ax-his3 31104  ax-his4 31105
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-grpo 30513  df-gid 30514  df-ginv 30515  df-gdiv 30516  df-ablo 30565  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-vs 30619  df-nmcv 30620  df-ssp 30742  df-hnorm 30988  df-hvsub 30991  df-sh 31227
This theorem is referenced by:  hhsssh  31289
  Copyright terms: Public domain W3C validator