Theorem hhshsslem2 31357

Description: Lemma for hhsssh 31358. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Proof of Theorem hhshsslem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssp3.4	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
2		hhsst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31254	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		hhssp3.3	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
5	2	hh0v 31257	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
6		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
7		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	5, 6, 7	sspz 30824	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec‘𝑊) = 0ℎ)
9	3, 4, 8	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) = 0ℎ
10	7	sspnv 30815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
11	3, 4, 10	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13	12, 6	nvzcl 30723	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15		hhsst.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
16	2, 15, 4, 1	hhshsslem1 31356	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
17	14, 16	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ 𝐻
18	9, 17	eqeltrri 2836	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
19	1, 18	pm3.2i 471	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻)
20	2	hhva 31255	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
22	16, 20, 21, 7	sspgval 30818	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23	3, 4, 22	mpanl12 708	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
24	16, 21	nvgcl 30709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
25	11, 24	mp3an1 1456	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
26	23, 25	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
27	26	rgen2 3179	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
28	2	hhsm 31258	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
29		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
30	16, 28, 29, 7	sspsval 30820	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
31	3, 4, 30	mpanl12 708	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
32	16, 29	nvscl 30715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
33	11, 32	mp3an1 1456	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
34	31, 33	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
35	34	rgen2 3179	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
36	27, 35	pm3.2i 471	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
37		issh2 31298	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
38	19, 36, 37	mpbir2an 717	1 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4561   × cxp 5616   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  NrmCVeccnv 30673   +_𝑣 cpv 30674  BaseSetcba 30675   ·_𝑠OLD cns 30676  0_veccn0v 30677  SubSpcss 30810   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012  0_ℎc0v 31013   S_ℋ csh 31017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ssp 30811  df-hnorm 31057  df-hvsub 31060  df-sh 31296

This theorem is referenced by:  hhsssh  31358