Theorem hhshsslem2 31197

Description: Lemma for hhsssh 31198. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Proof of Theorem hhshsslem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssp3.4	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
2		hhsst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31094	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		hhssp3.3	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
5	2	hh0v 31097	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	5, 6, 7	sspz 30664	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec‘𝑊) = 0ℎ)
9	3, 4, 8	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) = 0ℎ
10	7	sspnv 30655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
11	3, 4, 10	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13	12, 6	nvzcl 30563	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15		hhsst.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
16	2, 15, 4, 1	hhshsslem1 31196	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
17	14, 16	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ 𝐻
18	9, 17	eqeltrri 2825	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
19	1, 18	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻)
20	2	hhva 31095	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
22	16, 20, 21, 7	sspgval 30658	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23	3, 4, 22	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
24	16, 21	nvgcl 30549	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
25	11, 24	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
26	23, 25	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
27	26	rgen2 3177	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
28	2	hhsm 31098	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
29		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
30	16, 28, 29, 7	sspsval 30660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
31	3, 4, 30	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
32	16, 29	nvscl 30555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
33	11, 32	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
34	31, 33	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
35	34	rgen2 3177	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
36	27, 35	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
37		issh2 31138	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
38	19, 36, 37	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  ⟨cop 4595   × cxp 5636   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  NrmCVeccnv 30513   +_𝑣 cpv 30514  BaseSetcba 30515   ·_𝑠OLD cns 30516  0_veccn0v 30517  SubSpcss 30650   ℋchba 30848   +_ℎ cva 30849   ·_ℎ csm 30850  norm_ℎcno 30852  0_ℎc0v 30853   S_ℋ csh 30857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ssp 30651  df-hnorm 30897  df-hvsub 30900  df-sh 31136

This theorem is referenced by:  hhsssh  31198