Theorem hhshsslem2 31356

Description: Lemma for hhsssh 31357. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Proof of Theorem hhshsslem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssp3.4	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
2		hhsst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31253	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		hhssp3.3	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
5	2	hh0v 31256	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	5, 6, 7	sspz 30823	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec‘𝑊) = 0ℎ)
9	3, 4, 8	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) = 0ℎ
10	7	sspnv 30814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
11	3, 4, 10	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13	12, 6	nvzcl 30722	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15		hhsst.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
16	2, 15, 4, 1	hhshsslem1 31355	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
17	14, 16	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ 𝐻
18	9, 17	eqeltrri 2834	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
19	1, 18	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻)
20	2	hhva 31254	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
22	16, 20, 21, 7	sspgval 30817	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23	3, 4, 22	mpanl12 703	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
24	16, 21	nvgcl 30708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
25	11, 24	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
26	23, 25	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
27	26	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
28	2	hhsm 31257	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
30	16, 28, 29, 7	sspsval 30819	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
31	3, 4, 30	mpanl12 703	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
32	16, 29	nvscl 30714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
33	11, 32	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
34	31, 33	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
35	34	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
36	27, 35	pm3.2i 470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
37		issh2 31297	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
38	19, 36, 37	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ⟨cop 4588   × cxp 5630   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  NrmCVeccnv 30672   +_𝑣 cpv 30673  BaseSetcba 30674   ·_𝑠OLD cns 30675  0_veccn0v 30676  SubSpcss 30809   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008   ·_ℎ csm 31009  norm_ℎcno 31011  0_ℎc0v 31012   S_ℋ csh 31016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his1 31170  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-grpo 30581  df-gid 30582  df-ginv 30583  df-gdiv 30584  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-nv 30680  df-va 30683  df-ba 30684  df-sm 30685  df-0v 30686  df-vs 30687  df-nmcv 30688  df-ssp 30810  df-hnorm 31056  df-hvsub 31059  df-sh 31295

This theorem is referenced by:  hhsssh  31357