Theorem hhshsslem2 31863

Description: Lemma for hhsssh 31864. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
hhsst.2	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssp3.3	⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
hhssp3.4	⊢ 𝐻 ⊆ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Proof of Theorem hhshsslem2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhssp3.4	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
2		hhsst.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnv 31760	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
4		hhssp3.3	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)
5	2	hh0v 31763	. . . . . 6 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
8	5, 6, 7	sspz 31330	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (0vec‘𝑊) = 0ℎ)
9	3, 4, 8	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) = 0ℎ
10	7	sspnv 31321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
11	3, 4, 10	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
13	12, 6	nvzcl 31229	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊))
14	11, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ (BaseSet‘𝑊)
15		hhsst.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
16	2, 15, 4, 1	hhshsslem1 31862	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
17	14, 16	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ 𝐻
18	9, 17	eqeltrri 2858	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ 𝐻
19	1, 18	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻)
20	2	hhva 31761	. . . . . . 7 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
22	16, 20, 21, 7	sspgval 31324	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
23	3, 4, 22	mpanl12 715	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
24	16, 21	nvgcl 31215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
25	11, 24	mp3an1 1477	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( +𝑣 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
26	23, 25	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
27	26	rgen2 3203	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
28	2	hhsm 31764	. . . . . . 7 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
29		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
30	16, 28, 29, 7	sspsval 31326	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻)) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
31	3, 4, 30	mpanl12 715	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) = (𝑥 ·ℎ 𝑦))
32	16, 29	nvscl 31221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
33	11, 32	mp3an1 1477	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥( ·𝑠OLD ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐻)
34	31, 33	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
35	34	rgen2 3203	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻
36	27, 35	pm3.2i 476	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)
37		issh2 31804	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ ↔ ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ 𝐻) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ 𝐻 (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ 𝐻)))
38	19, 36, 37	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  NrmCVeccnv 31179   +_𝑣 cpv 31180  BaseSetcba 31181   ·_𝑠OLD cns 31182  0_veccn0v 31183  SubSpcss 31316   ℋchba 31514   +_ℎ cva 31515   ·_ℎ csm 31516  norm_ℎcno 31518  0_ℎc0v 31519   S_ℋ csh 31523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ssp 31317  df-hnorm 31563  df-hvsub 31566  df-sh 31802

This theorem is used by:  hhsssh  31864