MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspmlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspmlem 30016
Description: Lemma for sspm 30018 and others. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmlem.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
sspmlem.h 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
sspmlem.1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯𝐺𝑦))
sspmlem.2 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝐹:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘…)
sspmlem.3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))βŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
sspmlem ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem sspmlem
StepHypRef Expression
1 sspmlem.1 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯𝐺𝑦))
2 ovres 7573 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝐺𝑦))
32adantl 483 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦) = (π‘₯𝐺𝑦))
41, 3eqtr4d 2776 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))
54ralrimivva 3201 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))
6 eqid 2733 . . 3 (π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ)
75, 6jctil 521 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦)))
8 sspmlem.h . . . . 5 𝐻 = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
98sspnv 30010 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
10 sspmlem.2 . . . 4 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ 𝐹:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘…)
11 ffn 6718 . . . 4 (𝐹:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘… β†’ 𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ))
129, 10, 113syl 18 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ))
13 sspmlem.3 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺:((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))βŸΆπ‘†)
1413ffnd 6719 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 Fn ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1514adantr 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐺 Fn ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
16 eqid 2733 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
17 sspmlem.y . . . . . 6 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
1816, 17, 8sspba 30011 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
19 xpss12 5692 . . . . 5 ((π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Œ βŠ† (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
2018, 18, 19syl2anc 585 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
21 fnssres 6674 . . . 4 ((𝐺 Fn ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ (π‘Œ Γ— π‘Œ) βŠ† ((BaseSetβ€˜π‘ˆ) Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ))
2215, 20, 21syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ))
23 eqfnov 7538 . . 3 ((𝐹 Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) Fn (π‘Œ Γ— π‘Œ)) β†’ (𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ↔ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))))
2412, 22, 23syl2anc 585 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ↔ ((π‘Œ Γ— π‘Œ) = (π‘Œ Γ— π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘₯𝐹𝑦) = (π‘₯(𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑦))))
257, 24mpbird 257 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐹 = (𝐺 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  NrmCVeccnv 29868  BaseSetcba 29870  SubSpcss 30005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fo 6550  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-vc 29843  df-nv 29876  df-va 29879  df-ba 29880  df-sm 29881  df-nmcv 29884  df-ssp 30006
This theorem is referenced by:  sspm  30018  sspims  30023
  Copyright terms: Public domain W3C validator