MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minvecolem2 30128
Description: Lemma for minveco 30137. Any two points 𝐾 and 𝐿 in π‘Œ are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvecolem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
minvecolem2.2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
minvecolem2.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ π‘Œ)
minvecolem2.4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
minvecolem2.5 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
minvecolem2.6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
Assertion
Ref Expression
minvecolem2 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑆   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)
Proof of Theorem minvecolem2
Dummy variables π‘₯ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12296 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3 minveco.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 minveco.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
5 minveco.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
6 minveco.y . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
7 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
9 minveco.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
10 minveco.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
11 minveco.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
12 minveco.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minvecolem1 30127 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
1413simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
1513simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
16 0re 11216 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1713simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
18 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
1918ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
2019rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
2116, 17, 20sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
22 infrecl 12196 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2314, 15, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
242, 23eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2524resqcld 14090 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
26 remulcl 11195 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
271, 25, 26sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
28 phnv 30067 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
297, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
303, 10imsmet 29944 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
32 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) βŠ† (SubSpβ€˜π‘ˆ)
3332, 8sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
34 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
353, 6, 34sspba 29980 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
3629, 33, 35syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
37 minvecolem2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ π‘Œ)
3836, 37sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
39 minvecolem2.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
4036, 39sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑋)
41 metcl 23838 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
4231, 38, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
4342resqcld 14090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
4427, 43readdcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
45 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
46 halfcl 12437 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ β„‚ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
506, 48, 49, 34sspgval 29982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐾 ∈ π‘Œ ∧ 𝐿 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘Š)𝐿) = (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))
5129, 33, 37, 39, 50syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘Š)𝐿) = (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))
5234sspnv 29979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
5329, 33, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
546, 49nvgcl 29873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ∈ π‘Œ ∧ 𝐿 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘Š)𝐿) ∈ π‘Œ)
5553, 37, 39, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘Š)𝐿) ∈ π‘Œ)
5651, 55eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
58 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
596, 57, 58, 34sspsval 29984 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)) β†’ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))
6029, 33, 47, 56, 59syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))
616, 58nvscl 29879 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ) β†’ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ)
6253, 47, 56, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ)
6360, 62eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ)
6436, 63sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ 𝑋)
653, 4nvmcl 29899 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋)
6629, 9, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋)
673, 5nvcl 29914 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ)
6829, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ)
6968resqcld 14090 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
70 remulcl 11195 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
711, 69, 70sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
7271, 43readdcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
73 minvecolem2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7425, 73readdcld 11243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ)
75 remulcl 11195 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
761, 74, 75sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
7716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 12198 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
7914, 15, 21, 77, 78syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
8017, 79mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 2breqtrrdi 5191 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
82 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))
83 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) β†’ (𝐴𝑀𝑦) = (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))
8483fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) = (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
8584rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ ∧ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
8663, 82, 85sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
87 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
88 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
8987, 88elrnmpti 5960 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
9086, 89sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦))))
9190, 12eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92 infrelb 12199 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
9314, 21, 91, 92syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
942, 93eqbrtrid 5184 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
95 le2sq2 14100 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑆) ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≀ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))) β†’ (𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
9624, 81, 68, 94, 95syl22anc 838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
97 4pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 4
981, 97pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99 lemul2 12067 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10098, 99mp3an3 1451 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10125, 69, 100syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10296, 101mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
10327, 71, 43, 102leadd1dd 11828 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104 metcl 23838 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10531, 9, 38, 104syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106105resqcld 14090 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107 metcl 23838 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10831, 9, 40, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109108resqcld 14090 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110 minvecolem2.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
111 minvecolem2.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
112106, 109, 74, 74, 110, 111le2addd 11833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (((𝑆↑2) + 𝐡) + ((𝑆↑2) + 𝐡)))
11374recnd 11242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ β„‚)
1141132timesd 12455 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (((𝑆↑2) + 𝐡) + ((𝑆↑2) + 𝐡)))
115112, 114breqtrrd 5177 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
116106, 109readdcld 11243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117 2re 12286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
118 remulcl 11195 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
119117, 74, 118sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
120 2pos 12315 . . . . . . . . 9 0 < 2
121117, 120pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122 lemul2 12067 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
123121, 122mp3an3 1451 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ) β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
124116, 119, 123syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
125115, 124mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
1263, 4nvmcl 29899 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋)
12729, 9, 38, 126syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋)
1283, 4nvmcl 29899 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋)
12929, 9, 40, 128syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋)
1303, 48, 4, 5phpar2 30076 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
1317, 127, 129, 130syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
132 2cn 12287 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„‚
13368recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ β„‚)
134 sqmul 14084 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
135132, 133, 134sylancr 588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
136 sq2 14161 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
137136oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) = (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
138135, 137eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
139132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
1403, 57, 5nvs 29916 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))) = ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))))
14129, 139, 66, 140syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))) = ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))))
142 0le2 12314 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ 2
143 absid 15243 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 2) β†’ (absβ€˜2) = 2)
144117, 142, 143mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 (absβ€˜2) = 2
145144oveq1i 7419 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (2 Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
146141, 145eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (2 Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))))
1473, 4, 57nvmdi 29901 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ 𝑋)) β†’ (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = ((2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
14829, 139, 9, 64, 147syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = ((2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
1493, 48, 57nv2 29885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))
15029, 9, 149syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))
151 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 β‰  0
152132, 151recidi 11945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· (1 / 2)) = 1
153152oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))
1543, 48nvgcl 29873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)
15529, 38, 40, 154syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)
1563, 57nvsid 29880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))
15729, 155, 156syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))
158153, 157eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))
1593, 57nvsass 29881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ (1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)) β†’ ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))
16029, 139, 47, 155, 159syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))
161158, 160eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿) = (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))
162150, 161oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))
1633, 48, 4nvaddsub4 29910 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))
16429, 9, 9, 38, 40, 163syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))
165148, 162, 1643eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))
166165fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿))))
167146, 166eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿))))
168167oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
169138, 168eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) = ((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
1703, 4, 5, 10imsdval 29939 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐿 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐿𝐷𝐾) = (π‘β€˜(𝐿𝑀𝐾)))
17129, 40, 38, 170syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐿𝐷𝐾) = (π‘β€˜(𝐿𝑀𝐾)))
172 metsym 23856 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾𝐷𝐿) = (𝐿𝐷𝐾))
17331, 38, 40, 172syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) = (𝐿𝐷𝐾))
1743, 4nvnnncan1 29900 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)) = (𝐿𝑀𝐾))
17529, 9, 38, 40, 174syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)) = (𝐿𝑀𝐾))
176175fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿))) = (π‘β€˜(𝐿𝑀𝐾)))
177171, 173, 1763eqtr4d 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) = (π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿))))
178177oveq1d 7424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
179169, 178oveq12d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)))
1803, 4, 5, 10imsdval 29939 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐾) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐾)))
18129, 9, 38, 180syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐾)))
182181oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐾))↑2))
1833, 4, 5, 10imsdval 29939 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐿) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐿)))
18429, 9, 40, 183syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) = (π‘β€˜(𝐴𝑀𝐿)))
185184oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐿))↑2))
186182, 185oveq12d 7427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐿))↑2)))
187186oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
188131, 179, 1873eqtr4d 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
189 2t2e4 12376 . . . . . . 7 (2 Β· 2) = 4
190189oveq1i 7419 . . . . . 6 ((2 Β· 2) Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))
191139, 139, 113mulassd 11237 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
192190, 191eqtr3id 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
193125, 188, 1923brtr4d 5181 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐾( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
19444, 72, 76, 103, 193letrd 11371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
195 4cn 12297 . . . . 5 4 ∈ β„‚
196195a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
19725recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ β„‚)
19873recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
199196, 197, 198adddid 11238 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡)))
200194, 199breqtrd 5175 . 2 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡)))
201 remulcl 11195 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (4 Β· 𝐡) ∈ ℝ)
2021, 73, 201sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐡) ∈ ℝ)
20343, 202, 27leadd2d 11809 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡) ↔ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡))))
204200, 203mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  2c2 12267  4c4 12269  β†‘cexp 14027  abscabs 15181  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840   βˆ’π‘£ cnsb 29842  normCVcnmcv 29843  IndMetcims 29844  SubSpcss 29974  CPreHilOLDccphlo 30065  CBanccbn 30115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-xmet 20937  df-met 20938  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116
This theorem is referenced by:  minvecolem3  30129  minvecolem7  30136
  Copyright terms: Public domain W3C validator