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Theorem minvecolem2 30894
Description: Lemma for minveco 30903. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvecolem2.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
minvecolem2.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minvecolem2.3 (𝜑𝐾𝑌)
minvecolem2.4 (𝜑𝐿𝑌)
minvecolem2.5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minvecolem2.6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
Assertion
Ref Expression
minvecolem2 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem2
Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12350 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3 minveco.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 minveco.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
5 minveco.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (normCV𝑈)
6 minveco.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
7 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9 minveco.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑋)
10 minveco.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
11 minveco.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12 minveco.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minvecolem1 30893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1413simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
1513simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
16 0re 11263 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1713simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
18 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
1918ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2019rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
2116, 17, 20sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
22 infrecl 12250 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2314, 15, 21, 22syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
242, 23eqeltrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2524resqcld 14165 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
26 remulcl 11240 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
271, 25, 26sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
28 phnv 30833 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
297, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
303, 10imsmet 30710 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
32 inss1 4237 . . . . . . . . . 10 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
3332, 8sselid 3981 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
34 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
353, 6, 34sspba 30746 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
3629, 33, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
37 minvecolem2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑌)
3836, 37sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
39 minvecolem2.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿𝑌)
4036, 39sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑋)
41 metcl 24342 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
4231, 38, 40, 41syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
4342resqcld 14165 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
4427, 43readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
45 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
46 halfcl 12491 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
506, 48, 49, 34sspgval 30748 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾𝑌𝐿𝑌)) → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
5129, 33, 37, 39, 50syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
5234sspnv 30745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5329, 33, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ NrmCVec)
546, 49nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾𝑌𝐿𝑌) → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) ∈ 𝑌)
5553, 37, 39, 54syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) ∈ 𝑌)
5651, 55eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
58 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
596, 57, 58, 34sspsval 30750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))
6029, 33, 47, 56, 59syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))
616, 58nvscl 30645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑌) → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
6253, 47, 56, 61syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
6360, 62eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
6436, 63sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
653, 4nvmcl 30665 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
6629, 9, 64, 65syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
673, 5nvcl 30680 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
6829, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
6968resqcld 14165 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
70 remulcl 11240 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
711, 69, 70sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
7271, 43readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
73 minvecolem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7425, 73readdcld 11290 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
75 remulcl 11240 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
761, 74, 75sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
7716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 12252 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7914, 15, 21, 77, 78syl31anc 1375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8017, 79mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 2breqtrrdi 5185 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
83 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) → (𝐴𝑀𝑦) = (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
8483fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
8584rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
8663, 82, 85sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
87 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
88 fvex 6919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
8987, 88elrnmpti 5973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9086, 89sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
9190, 12eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92 infrelb 12253 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
9314, 21, 91, 92syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
942, 93eqbrtrid 5178 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
95 le2sq2 14175 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))
9624, 81, 68, 94, 95syl22anc 839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))
97 4pos 12373 . . . . . . . . 9 0 < 4
981, 97pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99 lemul2 12120 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))))
10098, 99mp3an3 1452 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))))
10125, 69, 100syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))))
10296, 101mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
10327, 71, 43, 102leadd1dd 11877 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104 metcl 24342 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10531, 9, 38, 104syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106105resqcld 14165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107 metcl 24342 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10831, 9, 40, 107syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109108resqcld 14165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110 minvecolem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
111 minvecolem2.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112106, 109, 74, 74, 110, 111le2addd 11882 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
11374recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
1141132timesd 12509 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
115112, 114breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116106, 109readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
118 remulcl 11240 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
119117, 74, 118sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120 2pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 2
121117, 120pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122 lemul2 12120 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
123121, 122mp3an3 1452 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124116, 119, 123syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125115, 124mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
1263, 4nvmcl 30665 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋)
12729, 9, 38, 126syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋)
1283, 4nvmcl 30665 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋)
12929, 9, 40, 128syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋)
1303, 48, 4, 5phpar2 30842 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
1317, 127, 129, 130syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
132 2cn 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
13368recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
134 sqmul 14159 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
135132, 133, 134sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
136 sq2 14236 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
137136oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))
138135, 137eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
139132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1403, 57, 5nvs 30682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))))
14129, 139, 66, 140syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))))
142 0le2 12368 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
143 absid 15335 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
144117, 142, 143mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
145144oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
146141, 145eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))))
1473, 4, 57nvmdi 30667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)) → (2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
14829, 139, 9, 64, 147syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
1493, 48, 57nv2 30651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
15029, 9, 149syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
151 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
152132, 151recidi 11998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 2)) = 1
153152oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
1543, 48nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
15529, 38, 40, 154syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
1563, 57nvsid 30646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
15729, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
158153, 157eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
1593, 57nvsass 30647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
16029, 139, 47, 155, 159syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
161158, 160eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
162150, 161oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
1633, 48, 4nvaddsub4 30676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐾𝑋𝐿𝑋)) → ((𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))
16429, 9, 9, 38, 40, 163syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))
165148, 162, 1643eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))
166165fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿))))
167146, 166eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿))))
168167oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
169138, 168eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
1703, 4, 5, 10imsdval 30705 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐿𝑋𝐾𝑋) → (𝐿𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐿𝑀𝐾)))
17129, 40, 38, 170syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐿𝑀𝐾)))
172 metsym 24360 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐿𝐷𝐾))
17331, 38, 40, 172syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐿𝐷𝐾))
1743, 4nvnnncan1 30666 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐾𝑋𝐿𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)) = (𝐿𝑀𝐾))
17529, 9, 38, 40, 174syl13anc 1374 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)) = (𝐿𝑀𝐾))
176175fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿))) = (𝑁‘(𝐿𝑀𝐾)))
177171, 173, 1763eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿))))
178177oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
179169, 178oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)))
1803, 4, 5, 10imsdval 30705 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐾)))
18129, 9, 38, 180syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐾)))
182181oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2))
1833, 4, 5, 10imsdval 30705 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐿)))
18429, 9, 40, 183syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐿)))
185184oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))
186182, 185oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2)))
187186oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
188131, 179, 1873eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
189 2t2e4 12430 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
190189oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
191139, 139, 113mulassd 11284 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
192190, 191eqtr3id 2791 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
193125, 188, 1923brtr4d 5175 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
19444, 72, 76, 103, 193letrd 11418 . . 3 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
195 4cn 12351 . . . . 5 4 ∈ ℂ
196195a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
19725recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
19873recnd 11289 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
199196, 197, 198adddid 11285 . . 3 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
200194, 199breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
201 remulcl 11240 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
2021, 73, 201sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
20343, 202, 27leadd2d 11858 . 2 (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
204200, 203mpbird 257 1 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  cexp 14102  abscabs 15273  Metcmet 21350  MetOpencmopn 21354  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608  normCVcnmcv 30609  IndMetcims 30610  SubSpcss 30740  CPreHilOLDccphlo 30831  CBanccbn 30881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-xmet 21357  df-met 21358  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882
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