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Theorem minvecolem2 30777
Description: Lemma for minveco 30786. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvecolem2.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
minvecolem2.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minvecolem2.3 (𝜑𝐾𝑌)
minvecolem2.4 (𝜑𝐿𝑌)
minvecolem2.5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minvecolem2.6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
Assertion
Ref Expression
minvecolem2 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝐿   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑆   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem2
Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12334 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minveco.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3 minveco.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 minveco.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
5 minveco.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (normCV𝑈)
6 minveco.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
7 minveco.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9 minveco.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑋)
10 minveco.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
11 minveco.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12 minveco.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12minvecolem1 30776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1413simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
1513simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
16 0re 11253 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
1713simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
18 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
1918ralbidv 3167 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2019rspcev 3606 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
2116, 17, 20sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
22 infrecl 12234 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2314, 15, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
242, 23eqeltrid 2829 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2524resqcld 14130 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
26 remulcl 11230 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
271, 25, 26sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
28 phnv 30716 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
297, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
303, 10imsmet 30593 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
32 inss1 4227 . . . . . . . . . 10 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
3332, 8sselid 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
34 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
353, 6, 34sspba 30629 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
3629, 33, 35syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
37 minvecolem2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑌)
3836, 37sseldd 3977 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
39 minvecolem2.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿𝑌)
4036, 39sseldd 3977 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑋)
41 metcl 24299 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
4231, 38, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
4342resqcld 14130 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
4427, 43readdcld 11280 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
45 ax-1cn 11203 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
46 halfcl 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
4745, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
49 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
506, 48, 49, 34sspgval 30631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾𝑌𝐿𝑌)) → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
5129, 33, 37, 39, 50syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
5234sspnv 30628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
5329, 33, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑊 ∈ NrmCVec)
546, 49nvgcl 30522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾𝑌𝐿𝑌) → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) ∈ 𝑌)
5553, 37, 39, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑊)𝐿) ∈ 𝑌)
5651, 55eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
57 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
58 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
596, 57, 58, 34sspsval 30633 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))
6029, 33, 47, 56, 59syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))
616, 58nvscl 30528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑌) → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
6253, 47, 56, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑊)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
6360, 62eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
6436, 63sseldd 3977 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
653, 4nvmcl 30548 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
6629, 9, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
673, 5nvcl 30563 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
6829, 66, 67syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
6968resqcld 14130 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
70 remulcl 11230 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
711, 69, 70sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
7271, 43readdcld 11280 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
73 minvecolem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7425, 73readdcld 11280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
75 remulcl 11230 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
761, 74, 75sylancr 585 . . . 4 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
7716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 12236 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7914, 15, 21, 77, 78syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8017, 79mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 2breqtrrdi 5191 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
83 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) → (𝐴𝑀𝑦) = (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
8483fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) = (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
8584rspceeqv 3628 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
8663, 82, 85sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
87 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
88 fvex 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
8987, 88elrnmpti 5962 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9086, 89sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
9190, 12eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92 infrelb 12237 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
9314, 21, 91, 92syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
942, 93eqbrtrid 5184 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
95 le2sq2 14140 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))
9624, 81, 68, 94, 95syl22anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))
97 4pos 12357 . . . . . . . . 9 0 < 4
981, 97pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99 lemul2 12105 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))))
10098, 99mp3an3 1446 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))))
10125, 69, 100syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))))
10296, 101mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
10327, 71, 43, 102leadd1dd 11865 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104 metcl 24299 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10531, 9, 38, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106105resqcld 14130 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107 metcl 24299 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10831, 9, 40, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109108resqcld 14130 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110 minvecolem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
111 minvecolem2.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112106, 109, 74, 74, 110, 111le2addd 11870 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
11374recnd 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
1141132timesd 12493 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
115112, 114breqtrrd 5177 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116106, 109readdcld 11280 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117 2re 12324 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
118 remulcl 11230 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
119117, 74, 118sylancr 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120 2pos 12353 . . . . . . . . 9 0 < 2
121117, 120pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122 lemul2 12105 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
123121, 122mp3an3 1446 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124116, 119, 123syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125115, 124mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
1263, 4nvmcl 30548 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋)
12729, 9, 38, 126syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋)
1283, 4nvmcl 30548 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋)
12929, 9, 40, 128syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋)
1303, 48, 4, 5phpar2 30725 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ (𝐴𝑀𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑀𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
1317, 127, 129, 130syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
132 2cn 12325 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
13368recnd 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
134 sqmul 14124 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
135132, 133, 134sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
136 sq2 14201 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
137136oveq1i 7429 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2))
138135, 137eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)))
139132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1403, 57, 5nvs 30565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))))
14129, 139, 66, 140syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))))
142 0le2 12352 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
143 absid 15287 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
144117, 142, 143mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
145144oveq1i 7429 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
146141, 145eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))))
1473, 4, 57nvmdi 30550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)) → (2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
14829, 139, 9, 64, 147syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
1493, 48, 57nv2 30534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
15029, 9, 149syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
151 2ne0 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
152132, 151recidi 11983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 2)) = 1
153152oveq1i 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
1543, 48nvgcl 30522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
15529, 38, 40, 154syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
1563, 57nvsid 30529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
15729, 155, 156syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
158153, 157eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))
1593, 57nvsass 30530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
16029, 139, 47, 155, 159syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
161158, 160eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾( +𝑣𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))
162150, 161oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)𝑀(2( ·𝑠OLD𝑈)((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))
1633, 48, 4nvaddsub4 30559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐾𝑋𝐿𝑋)) → ((𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))
16429, 9, 9, 38, 40, 163syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)𝑀(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))
165148, 162, 1643eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))) = ((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))
166165fveq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿))))
167146, 166eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿))))
168167oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
169138, 168eqtr3d 2767 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
1703, 4, 5, 10imsdval 30588 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐿𝑋𝐾𝑋) → (𝐿𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐿𝑀𝐾)))
17129, 40, 38, 170syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐿𝑀𝐾)))
172 metsym 24317 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐿𝐷𝐾))
17331, 38, 40, 172syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐿𝐷𝐾))
1743, 4nvnnncan1 30549 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐾𝑋𝐿𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)) = (𝐿𝑀𝐾))
17529, 9, 38, 40, 174syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)) = (𝐿𝑀𝐾))
176175fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿))) = (𝑁‘(𝐿𝑀𝐾)))
177171, 173, 1763eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿))))
178177oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2))
179169, 178oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑀𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴𝑀𝐾)𝑀(𝐴𝑀𝐿)))↑2)))
1803, 4, 5, 10imsdval 30588 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐾)))
18129, 9, 38, 180syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐾)))
182181oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2))
1833, 4, 5, 10imsdval 30588 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐿)))
18429, 9, 40, 183syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝐿)))
185184oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))
186182, 185oveq12d 7437 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2)))
187186oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝑀𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐿))↑2))))
188131, 179, 1873eqtr4d 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
189 2t2e4 12414 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
190189oveq1i 7429 . . . . . 6 ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
191139, 139, 113mulassd 11274 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
192190, 191eqtr3id 2779 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
193125, 188, 1923brtr4d 5181 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴𝑀((1 / 2)( ·𝑠OLD𝑈)(𝐾( +𝑣𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
19444, 72, 76, 103, 193letrd 11408 . . 3 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
195 4cn 12335 . . . . 5 4 ∈ ℂ
196195a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
19725recnd 11279 . . . 4 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
19873recnd 11279 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
199196, 197, 198adddid 11275 . . 3 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
200194, 199breqtrd 5175 . 2 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
201 remulcl 11230 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
2021, 73, 201sylancr 585 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
20343, 202, 27leadd2d 11846 . 2 (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
204200, 203mpbird 256 1 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  cin 3943  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9471  cc 11143  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   · cmul 11150   < clt 11285  cle 11286   / cdiv 11908  2c2 12305  4c4 12307  cexp 14067  abscabs 15225  Metcmet 21299  MetOpencmopn 21303  NrmCVeccnv 30486   +𝑣 cpv 30487  BaseSetcba 30488   ·𝑠OLD cns 30489  𝑣 cnsb 30491  normCVcnmcv 30492  IndMetcims 30493  SubSpcss 30623  CPreHilOLDccphlo 30714  CBanccbn 30764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-xmet 21306  df-met 21307  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-ssp 30624  df-ph 30715  df-cbn 30765
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