Theorem t1r0 24120

Description: A T₁ space is R₀. That is, the Kolmogorov quotient of a T₁ space is also T₁ (because they are homeomorphic). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t1r0	⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)

Proof of Theorem t1r0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1t0 23646	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2		kqhmph 24118	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
4		t1hmph 24090	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
5	3, 4	mpcom 39	1 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  Kol2ct0 23604  Frect1 23605  KQckq 23992   ≃ chmph 24053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8460  df-map 8833  df-topgen 17594  df-qtop 17659  df-top 23192  df-topon 23209  df-cld 23317  df-cn 23525  df-t0 23611  df-t1 23612  df-kq 23993  df-hmeo 24054  df-hmph 24055

This theorem is used by:  nrmreg  24123