Theorem t1r0 23545

Description: A T₁ space is R₀. That is, the Kolmogorov quotient of a T₁ space is also T₁ (because they are homeomorphic). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t1r0	⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)

Proof of Theorem t1r0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1t0 23072	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2		kqhmph 23543	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
4		t1hmph 23515	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
5	3, 4	mpcom 38	1 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  Kol2ct0 23030  Frect1 23031  KQckq 23417   ≃ chmph 23478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-map 8824  df-topgen 17393  df-qtop 17457  df-top 22616  df-topon 22633  df-cld 22743  df-cn 22951  df-t0 23037  df-t1 23038  df-kq 23418  df-hmeo 23479  df-hmph 23480

This theorem is referenced by:  nrmreg  23548