Theorem t1r0 24145

Description: A T₁ space is R₀. That is, the Kolmogorov quotient of a T₁ space is also T₁ (because they are homeomorphic). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
t1r0	⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)

Proof of Theorem t1r0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1t0 23671	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2		kqhmph 24143	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ≃ (KQ‘𝐽))
4		t1hmph 24115	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
5	3, 4	mpcom 39	1 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Kol2ct0 23629  Frect1 23630  KQckq 24017   ≃ chmph 24078

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8479  df-map 8852  df-topgen 17619  df-qtop 17684  df-top 23217  df-topon 23234  df-cld 23342  df-cn 23550  df-t0 23636  df-t1 23637  df-kq 24018  df-hmeo 24079  df-hmph 24080

This theorem is used by:  nrmreg  24148