MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishaus3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishaus3 23831
Description: A topological space is Hausdorff iff it is both T0 and R1 (where R1 means that any two topologically distinct points are separated by neighborhoods). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ishaus3 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))

Proof of Theorem ishaus3
StepHypRef Expression
1 haust1 23360 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 t1t0 23356 . . 3 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Kol2)
4 haushmph 23800 . 2 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Haus → (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
5 haushmph 23800 . 2 ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Haus → 𝐽 ∈ Haus))
63, 4, 5ist1-5lem 23828 1 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2108  cfv 6561  Kol2ct0 23314  Frect1 23315  Hauscha 23316  KQckq 23701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-map 8868  df-topgen 17488  df-qtop 17552  df-top 22900  df-topon 22917  df-cld 23027  df-cn 23235  df-t0 23321  df-t1 23322  df-haus 23323  df-kq 23702  df-hmeo 23763  df-hmph 23764
This theorem is referenced by:  reghaus  23833
  Copyright terms: Public domain W3C validator