Theorem ishaus3 23863

Description: A topological space is Hausdorff iff it is both T₀ and R₁ (where R₁ means that any two topologically distinct points are separated by neighborhoods). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ishaus3	⊢ (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))

Proof of Theorem ishaus3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23392	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1t0 23388	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Kol2)
4		haushmph 23832	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Haus → (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
5		haushmph 23832	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Haus → 𝐽 ∈ Haus))
6	3, 4, 5	ist1-5lem 23860	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  Kol2ct0 23346  Frect1 23347  Hauscha 23348  KQckq 23733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-1o 8432  df-map 8805  df-topgen 17455  df-qtop 17520  df-top 22934  df-topon 22951  df-cld 23059  df-cn 23267  df-t0 23353  df-t1 23354  df-haus 23355  df-kq 23734  df-hmeo 23795  df-hmph 23796

This theorem is referenced by:  reghaus  23865