Theorem nrmhaus 24145

Description: A T₁ normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T₁ normal space is also known as a T₄ space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmhaus	⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem nrmhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23670	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		nrmreg 24143	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
3	2	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Reg))
4		t1t0 23666	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
5		reghaus 24144	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
6	4, 5	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (𝐽 ∈ Reg → 𝐽 ∈ Haus))
7	3, 6	sylcom 31	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
8	1, 7	impbid2 229	1 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  Kol2ct0 23624  Frect1 23625  Hauscha 23626  Regcreg 23627  Nrmcnrm 23628

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-map 8849  df-topgen 17614  df-qtop 17679  df-top 23212  df-topon 23229  df-cld 23337  df-cls 23339  df-cn 23545  df-t0 23631  df-t1 23632  df-haus 23633  df-reg 23634  df-nrm 23635  df-kq 24013  df-hmeo 24074  df-hmph 24075

This theorem is used by: (None)