Theorem nrmhaus 23330

Description: A T₁ normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T₁ normal space is also known as a T₄ space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmhaus	⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem nrmhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 22856	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		nrmreg 23328	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
3	2	ex 414	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Reg))
4		t1t0 22852	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
5		reghaus 23329	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
6	4, 5	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (𝐽 ∈ Reg → 𝐽 ∈ Haus))
7	3, 6	sylcom 30	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
8	1, 7	impbid2 225	1 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  Kol2ct0 22810  Frect1 22811  Hauscha 22812  Regcreg 22813  Nrmcnrm 22814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-map 8822  df-topgen 17389  df-qtop 17453  df-top 22396  df-topon 22413  df-cld 22523  df-cls 22525  df-cn 22731  df-t0 22817  df-t1 22818  df-haus 22819  df-reg 22820  df-nrm 22821  df-kq 23198  df-hmeo 23259  df-hmph 23260

This theorem is referenced by: (None)