MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmhaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmhaus 23550
Description: A T1 normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T1 normal space is also known as a T4 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhaus (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem nrmhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 23076 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 nrmreg 23548 . . . 4 ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
32ex 411 . . 3 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Reg))
4 t1t0 23072 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
5 reghaus 23549 . . . 4 (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
64, 5syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐽 ∈ Fre → (𝐽 ∈ Reg → 𝐽 ∈ Haus))
73, 6sylcom 30 . 2 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
81, 7impbid2 225 1 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2104  Kol2ct0 23030  Frect1 23031  Hauscha 23032  Regcreg 23033  Nrmcnrm 23034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-map 8824  df-topgen 17393  df-qtop 17457  df-top 22616  df-topon 22633  df-cld 22743  df-cls 22745  df-cn 22951  df-t0 23037  df-t1 23038  df-haus 23039  df-reg 23040  df-nrm 23041  df-kq 23418  df-hmeo 23479  df-hmph 23480
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator