MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmhaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmhaus 21958
Description: A T1 normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T1 normal space is also known as a T4 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhaus (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem nrmhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 21485 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 nrmreg 21956 . . . 4 ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
32ex 402 . . 3 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Reg))
4 t1t0 21481 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
5 reghaus 21957 . . . 4 (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
64, 5syl5ibrcom 239 . . 3 (𝐽 ∈ Fre → (𝐽 ∈ Reg → 𝐽 ∈ Haus))
73, 6sylcom 30 . 2 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
81, 7impbid2 218 1 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wcel 2157  Kol2ct0 21439  Frect1 21440  Hauscha 21441  Regcreg 21442  Nrmcnrm 21443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-1o 7799  df-map 8097  df-topgen 16419  df-qtop 16482  df-top 21027  df-topon 21044  df-cld 21152  df-cls 21154  df-cn 21360  df-t0 21446  df-t1 21447  df-haus 21448  df-reg 21449  df-nrm 21450  df-kq 21826  df-hmeo 21887  df-hmph 21888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator