Theorem nrmhaus 23855

Description: A T₁ normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T₁ normal space is also known as a T₄ space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmhaus	⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem nrmhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23381	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		nrmreg 23853	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Reg))
4		t1t0 23377	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
5		reghaus 23854	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
6	4, 5	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → (𝐽 ∈ Reg → 𝐽 ∈ Haus))
7	3, 6	sylcom 30	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
8	1, 7	impbid2 226	1 ⊢ (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  Kol2ct0 23335  Frect1 23336  Hauscha 23337  Regcreg 23338  Nrmcnrm 23339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-1o 8522  df-map 8886  df-topgen 17503  df-qtop 17567  df-top 22921  df-topon 22938  df-cld 23048  df-cls 23050  df-cn 23256  df-t0 23342  df-t1 23343  df-haus 23344  df-reg 23345  df-nrm 23346  df-kq 23723  df-hmeo 23784  df-hmph 23785

This theorem is referenced by: (None)