MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmhaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmhaus 22437
Description: A T1 normal space is Hausdorff. A Hausdorff or T1 normal space is also known as a T4 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrmhaus (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))

Proof of Theorem nrmhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 21963 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 nrmreg 22435 . . . 4 ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
32ex 416 . . 3 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Reg))
4 t1t0 21959 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
5 reghaus 22436 . . . 4 (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
64, 5syl5ibrcom 250 . . 3 (𝐽 ∈ Fre → (𝐽 ∈ Reg → 𝐽 ∈ Haus))
73, 6sylcom 30 . 2 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Haus))
81, 7impbid2 229 1 (𝐽 ∈ Nrm → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115  Kol2ct0 21917  Frect1 21918  Hauscha 21919  Regcreg 21920  Nrmcnrm 21921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-1o 8098  df-map 8404  df-topgen 16717  df-qtop 16780  df-top 21505  df-topon 21522  df-cld 21630  df-cls 21632  df-cn 21838  df-t0 21924  df-t1 21925  df-haus 21926  df-reg 21927  df-nrm 21928  df-kq 22305  df-hmeo 22366  df-hmph 22367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator