Theorem toptopon2 23245

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 23244	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6543  Topctop 23220  TopOnctopon 23237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topon 23238

This theorem is used by:  topontopon  23246  toprntopon  23252  neiptopreu  23460  lmcvg  23589  cnss1  23603  cnss2  23604  cnrest2  23613  cnrest2r  23614  lmss  23625  lmcnp  23631  lmcn  23632  t1t0  23675  haust1  23679  restcnrm  23689  resthauslem  23690  lmmo  23707  rncmp  23723  connima  23752  conncn  23753  kgeni  23865  kgenftop  23868  kgenss  23871  kgenhaus  23872  kgencmp2  23874  kgenidm  23875  1stckgen  23882  kgencn3  23886  kgen2cn  23887  dfac14  23946  ptcnplem  23949  ptcnp  23950  txcnmpt  23952  ptcn  23955  txdis1cn  23963  lmcn2  23977  txkgen  23980  xkohaus  23981  xkopt  23983  cnmpt11  23991  cnmpt11f  23992  cnmpt1t  23993  cnmpt12  23995  cnmpt21  23999  cnmpt21f  24000  cnmpt2t  24001  cnmpt22  24002  cnmpt22f  24003  cnmptcom  24006  cnmptkp  24008  cnmpt2k  24016  txconn  24017  qtopss  24043  qtopeu  24044  qtopomap  24046  qtopcmap  24047  kqtop  24073  kqt0  24074  nrmr0reg  24077  regr1  24078  kqreg  24079  kqnrm  24080  hmeoqtop  24103  hmphref  24109  xpstopnlem1  24137  ptcmpfi  24141  xkocnv  24142  xkohmeo  24143  kqhmph  24147  flimsncls  24314  cnpflfi  24327  flfcnp  24332  flfcnp2  24335  cnpfcfi  24368  cnextucn  24630  cnmpopc  25258  htpyco1  25308  htpyco2  25309  phtpyco2  25320  pcopt  25352  pcopt2  25353  pcorevlem  25356  pi1cof  25389  pi1coghm  25391  cvxsconn  36126  clduni  50151