Theorem toptopon2 23075

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 23074	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  Topctop 23050  TopOnctopon 23067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-topon 23068

This theorem is referenced by:  topontopon  23076  toprntopon  23082  neiptopreu  23290  lmcvg  23419  cnss1  23433  cnss2  23434  cnrest2  23443  cnrest2r  23444  lmss  23455  lmcnp  23461  lmcn  23462  t1t0  23505  haust1  23509  restcnrm  23519  resthauslem  23520  lmmo  23537  rncmp  23553  connima  23582  conncn  23583  kgeni  23694  kgenftop  23697  kgenss  23700  kgenhaus  23701  kgencmp2  23703  kgenidm  23704  1stckgen  23711  kgencn3  23715  kgen2cn  23716  dfac14  23775  ptcnplem  23778  ptcnp  23779  txcnmpt  23781  ptcn  23784  txdis1cn  23792  lmcn2  23806  txkgen  23809  xkohaus  23810  xkopt  23812  cnmpt11  23820  cnmpt11f  23821  cnmpt1t  23822  cnmpt12  23824  cnmpt21  23828  cnmpt21f  23829  cnmpt2t  23830  cnmpt22  23831  cnmpt22f  23832  cnmptcom  23835  cnmptkp  23837  cnmpt2k  23845  txconn  23846  qtopss  23872  qtopeu  23873  qtopomap  23875  qtopcmap  23876  kqtop  23902  kqt0  23903  nrmr0reg  23906  regr1  23907  kqreg  23908  kqnrm  23909  hmeoqtop  23932  hmphref  23938  xpstopnlem1  23966  ptcmpfi  23970  xkocnv  23971  xkohmeo  23972  kqhmph  23976  flimsncls  24143  cnpflfi  24156  flfcnp  24161  flfcnp2  24164  cnpfcfi  24197  cnextucn  24459  cnmpopc  25087  htpyco1  25137  htpyco2  25138  phtpyco2  25149  pcopt  25181  pcopt2  25182  pcorevlem  25185  pi1cof  25218  pi1coghm  25220  cvxsconn  35735  clduni  49699