Theorem toptopon2 21523

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 21522	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  Topctop 21498  TopOnctopon 21515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-topon 21516

This theorem is referenced by:  topontopon  21524  toprntopon  21530  neiptopreu  21738  lmcvg  21867  cnss1  21881  cnss2  21882  cnrest2  21891  cnrest2r  21892  lmss  21903  lmcnp  21909  lmcn  21910  t1t0  21953  haust1  21957  restcnrm  21967  resthauslem  21968  lmmo  21985  rncmp  22001  connima  22030  conncn  22031  kgeni  22142  kgenftop  22145  kgenss  22148  kgenhaus  22149  kgencmp2  22151  kgenidm  22152  1stckgen  22159  kgencn3  22163  kgen2cn  22164  dfac14  22223  ptcnplem  22226  ptcnp  22227  txcnmpt  22229  ptcn  22232  txdis1cn  22240  lmcn2  22254  txkgen  22257  xkohaus  22258  xkopt  22260  cnmpt11  22268  cnmpt11f  22269  cnmpt1t  22270  cnmpt12  22272  cnmpt21  22276  cnmpt21f  22277  cnmpt2t  22278  cnmpt22  22279  cnmpt22f  22280  cnmptcom  22283  cnmptkp  22285  cnmpt2k  22293  txconn  22294  qtopss  22320  qtopeu  22321  qtopomap  22323  qtopcmap  22324  kqtop  22350  kqt0  22351  nrmr0reg  22354  regr1  22355  kqreg  22356  kqnrm  22357  hmeoqtop  22380  hmphref  22386  xpstopnlem1  22414  ptcmpfi  22418  xkocnv  22419  xkohmeo  22420  kqhmph  22424  flimsncls  22591  cnpflfi  22604  flfcnp  22609  flfcnp2  22612  cnpfcfi  22645  cnextucn  22909  cnmpopc  23533  htpyco1  23583  htpyco2  23584  phtpyco2  23595  pcopt  23627  pcopt2  23628  pcorevlem  23631  pi1cof  23664  pi1coghm  23666