Theorem toptopon2 22883

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22882	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  Topctop 22858  TopOnctopon 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-topon 22876

This theorem is referenced by:  topontopon  22884  toprntopon  22890  neiptopreu  23098  lmcvg  23227  cnss1  23241  cnss2  23242  cnrest2  23251  cnrest2r  23252  lmss  23263  lmcnp  23269  lmcn  23270  t1t0  23313  haust1  23317  restcnrm  23327  resthauslem  23328  lmmo  23345  rncmp  23361  connima  23390  conncn  23391  kgeni  23502  kgenftop  23505  kgenss  23508  kgenhaus  23509  kgencmp2  23511  kgenidm  23512  1stckgen  23519  kgencn3  23523  kgen2cn  23524  dfac14  23583  ptcnplem  23586  ptcnp  23587  txcnmpt  23589  ptcn  23592  txdis1cn  23600  lmcn2  23614  txkgen  23617  xkohaus  23618  xkopt  23620  cnmpt11  23628  cnmpt11f  23629  cnmpt1t  23630  cnmpt12  23632  cnmpt21  23636  cnmpt21f  23637  cnmpt2t  23638  cnmpt22  23639  cnmpt22f  23640  cnmptcom  23643  cnmptkp  23645  cnmpt2k  23653  txconn  23654  qtopss  23680  qtopeu  23681  qtopomap  23683  qtopcmap  23684  kqtop  23710  kqt0  23711  nrmr0reg  23714  regr1  23715  kqreg  23716  kqnrm  23717  hmeoqtop  23740  hmphref  23746  xpstopnlem1  23774  ptcmpfi  23778  xkocnv  23779  xkohmeo  23780  kqhmph  23784  flimsncls  23951  cnpflfi  23964  flfcnp  23969  flfcnp2  23972  cnpfcfi  24005  cnextucn  24267  cnmpopc  24895  htpyco1  24945  htpyco2  24946  phtpyco2  24957  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcorevlem  24993  pi1cof  25026  pi1coghm  25028  cvxsconn  35425  clduni  49376