Theorem toptopon2 22939

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22938	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2105  ∪ cuni 4911  ‘cfv 6562  Topctop 22914  TopOnctopon 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-topon 22932

This theorem is referenced by:  topontopon  22940  toprntopon  22946  neiptopreu  23156  lmcvg  23285  cnss1  23299  cnss2  23300  cnrest2  23309  cnrest2r  23310  lmss  23321  lmcnp  23327  lmcn  23328  t1t0  23371  haust1  23375  restcnrm  23385  resthauslem  23386  lmmo  23403  rncmp  23419  connima  23448  conncn  23449  kgeni  23560  kgenftop  23563  kgenss  23566  kgenhaus  23567  kgencmp2  23569  kgenidm  23570  1stckgen  23577  kgencn3  23581  kgen2cn  23582  dfac14  23641  ptcnplem  23644  ptcnp  23645  txcnmpt  23647  ptcn  23650  txdis1cn  23658  lmcn2  23672  txkgen  23675  xkohaus  23676  xkopt  23678  cnmpt11  23686  cnmpt11f  23687  cnmpt1t  23688  cnmpt12  23690  cnmpt21  23694  cnmpt21f  23695  cnmpt2t  23696  cnmpt22  23697  cnmpt22f  23698  cnmptcom  23701  cnmptkp  23703  cnmpt2k  23711  txconn  23712  qtopss  23738  qtopeu  23739  qtopomap  23741  qtopcmap  23742  kqtop  23768  kqt0  23769  nrmr0reg  23772  regr1  23773  kqreg  23774  kqnrm  23775  hmeoqtop  23798  hmphref  23804  xpstopnlem1  23832  ptcmpfi  23836  xkocnv  23837  xkohmeo  23838  kqhmph  23842  flimsncls  24009  cnpflfi  24022  flfcnp  24027  flfcnp2  24030  cnpfcfi  24063  cnextucn  24327  cnmpopc  24968  htpyco1  25023  htpyco2  25024  phtpyco2  25035  pcopt  25068  pcopt2  25069  pcorevlem  25072  pi1cof  25105  pi1coghm  25107  cvxsconn  35227  clduni  48696