Theorem toptopon2 22854

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22853	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4883  ‘cfv 6530  Topctop 22829  TopOnctopon 22846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fv 6538  df-topon 22847

This theorem is referenced by:  topontopon  22855  toprntopon  22861  neiptopreu  23069  lmcvg  23198  cnss1  23212  cnss2  23213  cnrest2  23222  cnrest2r  23223  lmss  23234  lmcnp  23240  lmcn  23241  t1t0  23284  haust1  23288  restcnrm  23298  resthauslem  23299  lmmo  23316  rncmp  23332  connima  23361  conncn  23362  kgeni  23473  kgenftop  23476  kgenss  23479  kgenhaus  23480  kgencmp2  23482  kgenidm  23483  1stckgen  23490  kgencn3  23494  kgen2cn  23495  dfac14  23554  ptcnplem  23557  ptcnp  23558  txcnmpt  23560  ptcn  23563  txdis1cn  23571  lmcn2  23585  txkgen  23588  xkohaus  23589  xkopt  23591  cnmpt11  23599  cnmpt11f  23600  cnmpt1t  23601  cnmpt12  23603  cnmpt21  23607  cnmpt21f  23608  cnmpt2t  23609  cnmpt22  23610  cnmpt22f  23611  cnmptcom  23614  cnmptkp  23616  cnmpt2k  23624  txconn  23625  qtopss  23651  qtopeu  23652  qtopomap  23654  qtopcmap  23655  kqtop  23681  kqt0  23682  nrmr0reg  23685  regr1  23686  kqreg  23687  kqnrm  23688  hmeoqtop  23711  hmphref  23717  xpstopnlem1  23745  ptcmpfi  23749  xkocnv  23750  xkohmeo  23751  kqhmph  23755  flimsncls  23922  cnpflfi  23935  flfcnp  23940  flfcnp2  23943  cnpfcfi  23976  cnextucn  24239  cnmpopc  24871  htpyco1  24926  htpyco2  24927  phtpyco2  24938  pcopt  24971  pcopt2  24972  pcorevlem  24975  pi1cof  25008  pi1coghm  25010  cvxsconn  35211  clduni  48823