Theorem toptopon2 22833

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22832	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-topon 22826

This theorem is referenced by:  topontopon  22834  toprntopon  22840  neiptopreu  23048  lmcvg  23177  cnss1  23191  cnss2  23192  cnrest2  23201  cnrest2r  23202  lmss  23213  lmcnp  23219  lmcn  23220  t1t0  23263  haust1  23267  restcnrm  23277  resthauslem  23278  lmmo  23295  rncmp  23311  connima  23340  conncn  23341  kgeni  23452  kgenftop  23455  kgenss  23458  kgenhaus  23459  kgencmp2  23461  kgenidm  23462  1stckgen  23469  kgencn3  23473  kgen2cn  23474  dfac14  23533  ptcnplem  23536  ptcnp  23537  txcnmpt  23539  ptcn  23542  txdis1cn  23550  lmcn2  23564  txkgen  23567  xkohaus  23568  xkopt  23570  cnmpt11  23578  cnmpt11f  23579  cnmpt1t  23580  cnmpt12  23582  cnmpt21  23586  cnmpt21f  23587  cnmpt2t  23588  cnmpt22  23589  cnmpt22f  23590  cnmptcom  23593  cnmptkp  23595  cnmpt2k  23603  txconn  23604  qtopss  23630  qtopeu  23631  qtopomap  23633  qtopcmap  23634  kqtop  23660  kqt0  23661  nrmr0reg  23664  regr1  23665  kqreg  23666  kqnrm  23667  hmeoqtop  23690  hmphref  23696  xpstopnlem1  23724  ptcmpfi  23728  xkocnv  23729  xkohmeo  23730  kqhmph  23734  flimsncls  23901  cnpflfi  23914  flfcnp  23919  flfcnp2  23922  cnpfcfi  23955  cnextucn  24217  cnmpopc  24849  htpyco1  24904  htpyco2  24905  phtpyco2  24916  pcopt  24949  pcopt2  24950  pcorevlem  24953  pi1cof  24986  pi1coghm  24988  cvxsconn  35287  clduni  49011