Theorem toptopon2 22945

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22944	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Topctop 22920  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-topon 22938

This theorem is referenced by:  topontopon  22946  toprntopon  22952  neiptopreu  23162  lmcvg  23291  cnss1  23305  cnss2  23306  cnrest2  23315  cnrest2r  23316  lmss  23327  lmcnp  23333  lmcn  23334  t1t0  23377  haust1  23381  restcnrm  23391  resthauslem  23392  lmmo  23409  rncmp  23425  connima  23454  conncn  23455  kgeni  23566  kgenftop  23569  kgenss  23572  kgenhaus  23573  kgencmp2  23575  kgenidm  23576  1stckgen  23583  kgencn3  23587  kgen2cn  23588  dfac14  23647  ptcnplem  23650  ptcnp  23651  txcnmpt  23653  ptcn  23656  txdis1cn  23664  lmcn2  23678  txkgen  23681  xkohaus  23682  xkopt  23684  cnmpt11  23692  cnmpt11f  23693  cnmpt1t  23694  cnmpt12  23696  cnmpt21  23700  cnmpt21f  23701  cnmpt2t  23702  cnmpt22  23703  cnmpt22f  23704  cnmptcom  23707  cnmptkp  23709  cnmpt2k  23717  txconn  23718  qtopss  23744  qtopeu  23745  qtopomap  23747  qtopcmap  23748  kqtop  23774  kqt0  23775  nrmr0reg  23778  regr1  23779  kqreg  23780  kqnrm  23781  hmeoqtop  23804  hmphref  23810  xpstopnlem1  23838  ptcmpfi  23842  xkocnv  23843  xkohmeo  23844  kqhmph  23848  flimsncls  24015  cnpflfi  24028  flfcnp  24033  flfcnp2  24036  cnpfcfi  24069  cnextucn  24333  cnmpopc  24974  htpyco1  25029  htpyco2  25030  phtpyco2  25041  pcopt  25074  pcopt2  25075  pcorevlem  25078  pi1cof  25111  pi1coghm  25113  cvxsconn  35211  clduni  48580