Theorem toptopon2 22807

Description: A topology is the same thing as a topology on the union of its open sets. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toptopon2	⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Proof of Theorem toptopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. 2 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22806	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  ∪ cuni 4903  ‘cfv 6542  Topctop 22782  TopOnctopon 22799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-topon 22800

This theorem is referenced by:  topontopon  22808  toprntopon  22814  neiptopreu  23024  lmcvg  23153  cnss1  23167  cnss2  23168  cnrest2  23177  cnrest2r  23178  lmss  23189  lmcnp  23195  lmcn  23196  t1t0  23239  haust1  23243  restcnrm  23253  resthauslem  23254  lmmo  23271  rncmp  23287  connima  23316  conncn  23317  kgeni  23428  kgenftop  23431  kgenss  23434  kgenhaus  23435  kgencmp2  23437  kgenidm  23438  1stckgen  23445  kgencn3  23449  kgen2cn  23450  dfac14  23509  ptcnplem  23512  ptcnp  23513  txcnmpt  23515  ptcn  23518  txdis1cn  23526  lmcn2  23540  txkgen  23543  xkohaus  23544  xkopt  23546  cnmpt11  23554  cnmpt11f  23555  cnmpt1t  23556  cnmpt12  23558  cnmpt21  23562  cnmpt21f  23563  cnmpt2t  23564  cnmpt22  23565  cnmpt22f  23566  cnmptcom  23569  cnmptkp  23571  cnmpt2k  23579  txconn  23580  qtopss  23606  qtopeu  23607  qtopomap  23609  qtopcmap  23610  kqtop  23636  kqt0  23637  nrmr0reg  23640  regr1  23641  kqreg  23642  kqnrm  23643  hmeoqtop  23666  hmphref  23672  xpstopnlem1  23700  ptcmpfi  23704  xkocnv  23705  xkohmeo  23706  kqhmph  23710  flimsncls  23877  cnpflfi  23890  flfcnp  23895  flfcnp2  23898  cnpfcfi  23931  cnextucn  24195  cnmpopc  24836  htpyco1  24891  htpyco2  24892  phtpyco2  24903  pcopt  24936  pcopt2  24937  pcorevlem  24940  pi1cof  24973  pi1coghm  24975  cvxsconn  34789  clduni  47842