Theorem ist1-5 23757

Description: A topological space is T₁ iff it is both T₀ and R₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist1-5	⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Proof of Theorem ist1-5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1t0 23283	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2		t1hmph 23726	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
3		t1hmph 23726	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Fre → 𝐽 ∈ Fre))
4	1, 2, 3	ist1-5lem 23755	1 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  Kol2ct0 23241  Frect1 23242  KQckq 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-1o 8394  df-map 8761  df-topgen 17354  df-qtop 17419  df-top 22829  df-topon 22846  df-cld 22954  df-cn 23162  df-t0 23248  df-t1 23249  df-kq 23629  df-hmeo 23690  df-hmph 23691

This theorem is referenced by: (None)