Theorem ist1-5 22034

Description: A topological space is T₁ iff it is both T₀ and R₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist1-5	⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Proof of Theorem ist1-5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1t0 21560	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2		t1hmph 22003	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
3		t1hmph 22003	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Fre → 𝐽 ∈ Fre))
4	1, 2, 3	ist1-5lem 22032	1 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6135  Kol2ct0 21518  Frect1 21519  KQckq 21905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-1o 7843  df-map 8142  df-topgen 16490  df-qtop 16553  df-top 21106  df-topon 21123  df-cld 21231  df-cn 21439  df-t0 21525  df-t1 21526  df-kq 21906  df-hmeo 21967  df-hmph 21968

This theorem is referenced by: (None)