MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist1-5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ist1-5 23739
Description: A topological space is T1 iff it is both T0 and R0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-5 (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Proof of Theorem ist1-5
StepHypRef Expression
1 t1t0 23265 . 2 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2 t1hmph 23708 . 2 (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
3 t1hmph 23708 . 2 ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Fre → 𝐽 ∈ Fre))
41, 2, 3ist1-5lem 23737 1 (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2099  cfv 6548  Kol2ct0 23223  Frect1 23224  KQckq 23610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8487  df-map 8847  df-topgen 17425  df-qtop 17489  df-top 22809  df-topon 22826  df-cld 22936  df-cn 23144  df-t0 23230  df-t1 23231  df-kq 23611  df-hmeo 23672  df-hmph 23673
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator