Theorem ist1-5 23677

Description: A topological space is T₁ iff it is both T₀ and R₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist1-5	⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Proof of Theorem ist1-5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1t0 23203	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2		t1hmph 23646	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
3		t1hmph 23646	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Fre → 𝐽 ∈ Fre))
4	1, 2, 3	ist1-5lem 23675	1 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  Kol2ct0 23161  Frect1 23162  KQckq 23548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-map 8821  df-topgen 17396  df-qtop 17460  df-top 22747  df-topon 22764  df-cld 22874  df-cn 23082  df-t0 23168  df-t1 23169  df-kq 23549  df-hmeo 23610  df-hmph 23611

This theorem is referenced by: (None)