Theorem ist1-5 24150

Description: A topological space is T₁ iff it is both T₀ and R₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ist1-5	⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

Proof of Theorem ist1-5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t1t0 23675	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
2		t1hmph 24119	. 2 ⊢ (𝐽 ≃ (KQ‘𝐽) → (𝐽 ∈ Fre → (KQ‘𝐽) ∈ Fre))
3		t1hmph 24119	. 2 ⊢ ((KQ‘𝐽) ≃ 𝐽 → ((KQ‘𝐽) ∈ Fre → 𝐽 ∈ Fre))
4	1, 2, 3	ist1-5lem 24148	1 ⊢ (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Fre))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  Kol2ct0 23633  Frect1 23634  KQckq 24021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-1o 8484  df-map 8857  df-topgen 17623  df-qtop 17688  df-top 23221  df-topon 23238  df-cld 23346  df-cn 23554  df-t0 23640  df-t1 23641  df-kq 24022  df-hmeo 24083  df-hmph 24084

This theorem is used by: (None)