Theorem reghaus 23790

Description: A regular T₀ space is Hausdorff. In other words, a T₃ space is T₂ . A regular Hausdorff or T₀ space is also known as a T₃ space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reghaus	⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem reghaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23317	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1t0 23313	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Kol2)
4		regr1 23715	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (KQ‘𝐽) ∈ Haus)
5	4	anim2i 615	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
6		ishaus3 23788	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
7	5, 6	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → 𝐽 ∈ Haus)
8	7	expcom 412	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Haus))
9	3, 8	impbid2 225	1 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  Kol2ct0 23271  Frect1 23272  Hauscha 23273  Regcreg 23274  KQckq 23658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-map 8847  df-topgen 17444  df-qtop 17508  df-top 22857  df-topon 22874  df-cld 22984  df-cls 22986  df-cn 23192  df-t0 23278  df-t1 23279  df-haus 23280  df-reg 23281  df-kq 23659  df-hmeo 23720  df-hmph 23721

This theorem is referenced by:  nrmhaus  23791