Theorem reghaus 23773

Description: A regular T₀ space is Hausdorff. In other words, a T₃ space is T₂ . A regular Hausdorff or T₀ space is also known as a T₃ space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reghaus	⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem reghaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23300	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1t0 23296	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Kol2)
4		regr1 23698	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (KQ‘𝐽) ∈ Haus)
5	4	anim2i 618	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
6		ishaus3 23771	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
7	5, 6	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → 𝐽 ∈ Haus)
8	7	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Haus))
9	3, 8	impbid2 226	1 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  Kol2ct0 23254  Frect1 23255  Hauscha 23256  Regcreg 23257  KQckq 23641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8399  df-map 8769  df-topgen 17367  df-qtop 17432  df-top 22842  df-topon 22859  df-cld 22967  df-cls 22969  df-cn 23175  df-t0 23261  df-t1 23262  df-haus 23263  df-reg 23264  df-kq 23642  df-hmeo 23703  df-hmph 23704

This theorem is referenced by:  nrmhaus  23774