MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reghaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reghaus 22972
Description: A regular T0 space is Hausdorff. In other words, a T3 space is T2 . A regular Hausdorff or T0 space is also known as a T3 space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
reghaus (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem reghaus
StepHypRef Expression
1 haust1 22499 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2 t1t0 22495 . . 3 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
31, 2syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Kol2)
4 regr1 22897 . . . . 5 (𝐽 ∈ Reg → (KQ‘𝐽) ∈ Haus)
54anim2i 617 . . . 4 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
6 ishaus3 22970 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
75, 6sylibr 233 . . 3 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → 𝐽 ∈ Haus)
87expcom 414 . 2 (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Haus))
93, 8impbid2 225 1 (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2110  cfv 6431  Kol2ct0 22453  Frect1 22454  Hauscha 22455  Regcreg 22456  KQckq 22840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-1o 8286  df-map 8598  df-topgen 17150  df-qtop 17214  df-top 22039  df-topon 22056  df-cld 22166  df-cls 22168  df-cn 22374  df-t0 22460  df-t1 22461  df-haus 22462  df-reg 22463  df-kq 22841  df-hmeo 22902  df-hmph 22903
This theorem is referenced by:  nrmhaus  22973
  Copyright terms: Public domain W3C validator