Theorem reghaus 22427

Description: A regular T₀ space is Hausdorff. In other words, a T₃ space is T₂ . A regular Hausdorff or T₀ space is also known as a T₃ space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reghaus	⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem reghaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 21954	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1t0 21950	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Kol2)
4		regr1 22352	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (KQ‘𝐽) ∈ Haus)
5	4	anim2i 618	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
6		ishaus3 22425	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
7	5, 6	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → 𝐽 ∈ Haus)
8	7	expcom 416	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Haus))
9	3, 8	impbid2 228	1 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  Kol2ct0 21908  Frect1 21909  Hauscha 21910  Regcreg 21911  KQckq 22295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-1o 8096  df-map 8402  df-topgen 16711  df-qtop 16774  df-top 21496  df-topon 21513  df-cld 21621  df-cls 21623  df-cn 21829  df-t0 21915  df-t1 21916  df-haus 21917  df-reg 21918  df-kq 22296  df-hmeo 22357  df-hmph 22358

This theorem is referenced by:  nrmhaus  22428