Theorem reghaus 23849

Description: A regular T₀ space is Hausdorff. In other words, a T₃ space is T₂ . A regular Hausdorff or T₀ space is also known as a T₃ space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reghaus	⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem reghaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23376	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
2		t1t0 23372	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Kol2)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Kol2)
4		regr1 23774	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (KQ‘𝐽) ∈ Haus)
5	4	anim2i 617	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
6		ishaus3 23847	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Kol2 ∧ (KQ‘𝐽) ∈ Haus))
7	5, 6	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐽 ∈ Reg) → 𝐽 ∈ Haus)
8	7	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Haus))
9	3, 8	impbid2 226	1 ⊢ (𝐽 ∈ Reg → (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  Kol2ct0 23330  Frect1 23331  Hauscha 23332  Regcreg 23333  KQckq 23717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-map 8867  df-topgen 17490  df-qtop 17554  df-top 22916  df-topon 22933  df-cld 23043  df-cls 23045  df-cn 23251  df-t0 23337  df-t1 23338  df-haus 23339  df-reg 23340  df-kq 23718  df-hmeo 23779  df-hmph 23780

This theorem is referenced by:  nrmhaus  23850