Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendof 37381
Description: Functionality of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendof (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆:𝑇𝑇)

Proof of Theorem tendof
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendof.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendof.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2771 . . . 4 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendof.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5istendo 37378 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑆𝐸 ↔ (𝑆:𝑇𝑇 ∧ ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)) ∧ ∀𝑓𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓))))
7 simp1 1117 . . 3 ((𝑆:𝑇𝑇 ∧ ∀𝑓𝑇𝑔𝑇 (𝑆‘(𝑓𝑔)) = ((𝑆𝑓) ∘ (𝑆𝑔)) ∧ ∀𝑓𝑇 (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑓))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓)) → 𝑆:𝑇𝑇)
86, 7syl6bi 245 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑆𝐸𝑆:𝑇𝑇))
98imp 398 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆:𝑇𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081   class class class wbr 4925  ccom 5407  wf 6181  cfv 6185  lecple 16426  LHypclh 36602  LTrncltrn 36719  trLctrl 36776  TEndoctendo 37370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-map 8206  df-tendo 37373
This theorem is referenced by:  tendoeq1  37382  tendocoval  37384  tendocl  37385  tendo1mul  37388  tendo1mulr  37389  tendococl  37390  tendoconid  37447  tendospass  37637  dvhlveclem  37726  dicvscacl  37809
  Copyright terms: Public domain W3C validator