Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendospdi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendospdi1 41022
Description: Forward distributive law for endomorphism scalar product operation. (Contributed by NM, 10-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendosp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendosp.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendosp.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendospdi1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))

Proof of Theorem tendospdi1
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐾𝑉)
2 simplr 769 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑊𝐻)
3 simpr1 1195 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑈𝐸)
4 simpr2 1196 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
5 simpr3 1197 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
6 tendosp.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 tendosp.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 tendosp.e . . 3 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
96, 7, 8tendovalco 40767 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻𝑈𝐸) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
101, 2, 3, 4, 5, 9syl32anc 1380 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑈‘(𝐹𝐺)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑈𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ccom 5689  cfv 6561  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-tendo 40757
This theorem is referenced by:  tendocnv  41023  tendospcanN  41025  dvalveclem  41027  dvhlveclem  41110  dihjatcclem4  41423
  Copyright terms: Public domain W3C validator