relowlssretop - Mathbox for ML

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Theorem relowlssretop 37701

Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
relowlssretop.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

**Assertion**
Ref	Expression
relowlssretop	⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Proof of Theorem relowlssretop Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑜 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13397	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ^* × ℝ^*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6666	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ^* × ℝ^)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ^ × ℝ^*))
3		ovelrn 7540	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) → (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^ ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏))
5		elxr 13064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞))
6		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		elioore 13325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	anim12ci 615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
9		relowlssretop.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
10	9	icoreelrn 37699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
12	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	7	leidd 11713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
15	6	rexrd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
16		elioo1 13335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
17	15, 16	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
18	17	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
19	18	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 < 𝑏)
20		rexr 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
21	20	3anim1i 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
22		rexr 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ^*)
23		elico1 13338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
24	20, 22, 23	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
25	24	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
26	8, 21, 25	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
27		icoreval 37691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
29	28	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
30	26, 29	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
31	12, 14, 19, 30	mp3and 1467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
32		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
33		nfrab1 3410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
34		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)𝑏)
35		iooval 13319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
36	35	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)}))
37	36	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
38	37	pm5.32i 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^ ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
39		rabid 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
40		rabid 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
41	39, 40	anbi12i 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
42		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
44	43	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
45		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
46	45, 43	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
47	46	anim2i 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
48		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
49	47, 48	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
50		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑥)
51		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑧)
52	50, 51	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
54		xrltletr 13105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) → ((𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) → 𝑎 < 𝑧))
55	49, 53, 54	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑎 < 𝑧)
56		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 < 𝑏)
57	56	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 < 𝑏)
58	55, 57	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))
59		rabid 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
60	44, 58, 59	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
61	60	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
62		iooval 13319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
64	61, 63	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
65	41, 64	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
66	38, 65	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
67	66	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
68	32, 33, 34, 67	ssrd 3927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
69	22, 68	sylanl2 682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
70		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
71		sseq1 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
72	70, 71	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
73	72	rspcev 3565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
74	11, 31, 69, 73	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
75	74	ancom1s 654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
76	75	expl 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
77	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78		peano2re 11316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
79	9	icoreelrn 37699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
80	77, 78, 79	syl2anc2 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
81		elioore 13325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
83	82	leidd 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
84	82	ltp1d 12083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
85	82, 83, 84	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
86		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
87		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
88	86, 87	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
89	88	elrab 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
90	85, 89	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))})
91		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))
92		nfrab1 3410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}
93		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)+∞)
94		rabid 3411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))))
95		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
96		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
97	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
98	97	rexrd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
99	95	rexrd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
100		elioopnf 13393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥)))
101	100	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑎 < 𝑥)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑥)
103		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
104	103	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
105	96, 98, 99, 102, 104	xrltletrd 13109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑧)
106		elioopnf 13393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧)))
107	106	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
110	95, 105, 109	mp2and 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞))
111	110	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
112	94, 111	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
113	91, 92, 93, 112	ssrd 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))
114	90, 113	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
115		oveq2 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)+∞))
116	115	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)))
117	116	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))))
118	115	sseq2d 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
119	118	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))))
120	117, 119	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = +∞ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))))
121	114, 120	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
122	121	impl 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
123	122	ancom1s 654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
124		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}))
125		sseq1 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
126	124, 125	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
127	126	rspcev 3565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
128	80, 123, 127	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
129	128	ancom1s 654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
130	129	expl 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
131	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132		oveq2 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)-∞))
133	132	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
135	134	pm5.32i 574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
136		nltmnf 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 < -∞)
137	136	intnand 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
138		eliooord 13355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
139	137, 138	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞))
140	139	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
141	140	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) ∧ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
142	141	ancomsd 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
143	135, 142	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
144	20, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
145	131, 144	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
146	145	ancom1s 654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = -∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
147	146	expl 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = -∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
148	76, 130, 147	3jaoi 1431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
149	5, 148	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
150	149	expdimp 452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
151	150	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
152		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
153		sseq2 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖 ⊆ 𝑜 ↔ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
154	153	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
155	154	rexbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
156	152, 155	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
157	151, 156	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
158	157	rexlimivv 3180	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
159	4, 158	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
160	159	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
161	160	rgenw 3056	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
162		iooex 13318	. . . . 5 ⊢ (,) ∈ V
163	162	rnex 7858	. . . 4 ⊢ ran (,) ∈ V
164		unirnioo 13399	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
165	9	icoreunrn 37697	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼
166	164, 165	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼
167		tgss2 22968	. . . 4 ⊢ ((ran (,) ∈ V ∧ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼) → ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
168	163, 166, 167	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
169	164	raleqi 3294	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
170	168, 169	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
171	161, 170	mpbir 231	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ w3o 1086 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∀wral 3052 ∃wrex 3062 {crab 3390 Vcvv 3430 ⊆ wss 3890 𝒫 cpw 4542 ∪ cuni 4851 class class class wbr 5086 × cxp 5626 ran crn 5629 “ cima 5631 Fn wfn 6491 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7364 ℝcr 11034 1c1 11036 + caddc 11038 +∞cpnf 11173 -∞cmnf 11174 ℝ^*cxr 11175 < clt 11176 ≤ cle 11177 (,)cioo 13295 [,)cico 13297 topGenctg 17397

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5306 ax-pr 5374 ax-un 7686 ax-cnex 11091 ax-resscn 11092 ax-1cn 11093 ax-icn 11094 ax-addcl 11095 ax-addrcl 11096 ax-mulcl 11097 ax-mulrcl 11098 ax-mulcom 11099 ax-addass 11100 ax-mulass 11101 ax-distr 11102 ax-i2m1 11103 ax-1ne0 11104 ax-1rid 11105 ax-rnegex 11106 ax-rrecex 11107 ax-cnre 11108 ax-pre-lttri 11109 ax-pre-lttrn 11110 ax-pre-ltadd 11111 ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-id 5523 df-po 5536 df-so 5537 df-xp 5634 df-rel 5635 df-cnv 5636 df-co 5637 df-dm 5638 df-rn 5639 df-res 5640 df-ima 5641 df-iota 6452 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7321 df-ov 7367 df-oprab 7368 df-mpo 7369 df-1st 7939 df-2nd 7940 df-er 8640 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11178 df-mnf 11179 df-xr 11180 df-ltxr 11181 df-le 11182 df-sub 11376 df-neg 11377 df-ioo 13299 df-ico 13301 df-topgen 17403

This theorem is referenced by: relowlpssretop 37702

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