relowlssretop - Mathbox for ML

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Theorem relowlssretop 34780

Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
relowlssretop.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

**Assertion**
Ref	Expression
relowlssretop	⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Proof of Theorem relowlssretop Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑜 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 12825	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ^* × ℝ^*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6487	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ^* × ℝ^)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ^ × ℝ^*))
3		ovelrn 7304	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) → (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^ ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏))
5		elxr 12499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞))
6		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		elioore 12756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	anim12ci 616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
9		relowlssretop.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
10	9	icoreelrn 34778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
12	7	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	7	leidd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
15	6	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
16		elioo1 12766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
17	15, 16	syldan 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
18	17	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
19	18	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 < 𝑏)
20		rexr 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
21	20	3anim1i 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
22		rexr 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ^*)
23		elico1 12769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
24	20, 22, 23	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
25	24	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
26	8, 21, 25	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
27		icoreval 34770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
29	28	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
30	26, 29	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
31	12, 14, 19, 30	mp3and 1461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
32		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
33		nfrab1 3337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
34		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)𝑏)
35		iooval 12750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
36	35	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)}))
37	36	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
38	37	pm5.32i 578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^ ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
39		rabid 3331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
40		rabid 3331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
41	39, 40	anbi12i 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
42		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
44	43	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
45		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
46	45, 43	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
47	46	anim2i 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
48		3anass 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
49	47, 48	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
50		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑥)
51		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑧)
52	50, 51	anim12i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
54		xrltletr 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) → ((𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) → 𝑎 < 𝑧))
55	49, 53, 54	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑎 < 𝑧)
56		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 < 𝑏)
57	56	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 < 𝑏)
58	55, 57	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))
59		rabid 3331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
60	44, 58, 59	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
61	60	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
62		iooval 12750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
64	61, 63	eleqtrrd 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
65	41, 64	sylan2b 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
66	38, 65	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
67	66	expr 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
68	32, 33, 34, 67	ssrd 3920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
69	22, 68	sylanl2 680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
70		eleq2 2878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
71		sseq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
72	70, 71	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
73	72	rspcev 3571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
74	11, 31, 69, 73	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
75	74	ancom1s 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
76	75	expl 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
77	7	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
79	9	icoreelrn 34778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
80	77, 78, 79	syl2anc2 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
81		elioore 12756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
82	81	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
83	82	leidd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
84	82	ltp1d 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
85	82, 83, 84	jca32 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
86		breq2 5034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
87		breq1 5033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
88	86, 87	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
89	88	elrab 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
90	85, 89	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))})
91		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))
92		nfrab1 3337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}
93		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)+∞)
94		rabid 3331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))))
95		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
96		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
97	82	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
98	97	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
99	95	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
100		elioopnf 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥)))
101	100	simplbda 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑎 < 𝑥)
102	101	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑥)
103		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
104	103	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
105	96, 98, 99, 102, 104	xrltletrd 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑧)
106		elioopnf 12821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧)))
107	106	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
108	107	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
109	108	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
110	95, 105, 109	mp2and 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞))
111	110	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
112	94, 111	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
113	91, 92, 93, 112	ssrd 3920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))
114	90, 113	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
115		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)+∞))
116	115	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)))
117	116	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))))
118	115	sseq2d 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
119	118	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))))
120	117, 119	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = +∞ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))))
121	114, 120	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
122	121	impl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
123	122	ancom1s 652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
124		eleq2 2878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}))
125		sseq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
126	124, 125	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
127	126	rspcev 3571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
128	80, 123, 127	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
129	128	ancom1s 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
130	129	expl 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
131	7	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)-∞))
133	132	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
134	133	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
135	134	pm5.32i 578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
136		nltmnf 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 < -∞)
137	136	intnand 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
138		eliooord 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
139	137, 138	nsyl 142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞))
140	139	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
141	140	impd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) ∧ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
142	141	ancomsd 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
143	135, 142	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
144	20, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
145	131, 144	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
146	145	ancom1s 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = -∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
147	146	expl 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = -∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
148	76, 130, 147	3jaoi 1424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
149	5, 148	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
150	149	expdimp 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
151	150	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
152		eleq2 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
153		sseq2 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖 ⊆ 𝑜 ↔ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
154	153	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
155	154	rexbidv 3256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
156	152, 155	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
157	151, 156	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
158	157	rexlimivv 3251	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
159	4, 158	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
160	159	rgen 3116	. . 3 ⊢ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
161	160	rgenw 3118	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
162		iooex 12749	. . . . 5 ⊢ (,) ∈ V
163	162	rnex 7599	. . . 4 ⊢ ran (,) ∈ V
164		unirnioo 12827	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
165	9	icoreunrn 34776	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼
166	164, 165	eqtr3i 2823	. . . 4 ⊢ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼
167		tgss2 21592	. . . 4 ⊢ ((ran (,) ∈ V ∧ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼) → ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
168	163, 166, 167	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
169	164	raleqi 3362	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
170	168, 169	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
171	161, 170	mpbir 234	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∨ w3o 1083 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ∀wral 3106 ∃wrex 3107 {crab 3110 Vcvv 3441 ⊆ wss 3881 𝒫 cpw 4497 ∪ cuni 4800 class class class wbr 5030 × cxp 5517 ran crn 5520 “ cima 5522 Fn wfn 6319 ⟶wf 6320 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ℝcr 10525 1c1 10527 + caddc 10529 +∞cpnf 10661 -∞cmnf 10662 ℝ^*cxr 10663 < clt 10664 ≤ cle 10665 (,)cioo 12726 [,)cico 12728 topGenctg 16703

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-id 5425 df-po 5438 df-so 5439 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-ioo 12730 df-ico 12732 df-topgen 16709

This theorem is referenced by: relowlpssretop 34781

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