relowlssretop - Mathbox for ML

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Theorem relowlssretop 36547

Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
relowlssretop.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

**Assertion**
Ref	Expression
relowlssretop	⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Proof of Theorem relowlssretop Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑜 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13428	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ^* × ℝ^*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6716	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ^* × ℝ^)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ^ × ℝ^*))
3		ovelrn 7585	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) → (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^ ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏))
5		elxr 13100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞))
6		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		elioore 13358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	anim12ci 612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
9		relowlssretop.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
10	9	icoreelrn 36545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
12	7	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	7	leidd 11784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
15	6	rexrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
16		elioo1 13368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
17	15, 16	syldan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
18	17	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
19	18	simp3d 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 < 𝑏)
20		rexr 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
21	20	3anim1i 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
22		rexr 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ^*)
23		elico1 13371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
24	20, 22, 23	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
25	24	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
26	8, 21, 25	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
27		icoreval 36537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
29	28	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
30	26, 29	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
31	12, 14, 19, 30	mp3and 1462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
32		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
33		nfrab1 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
34		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)𝑏)
35		iooval 13352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
36	35	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)}))
37	36	anbi1d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
38	37	pm5.32i 573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^ ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
39		rabid 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
40		rabid 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
41	39, 40	anbi12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
42		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
44	43	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
45		simpl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
46	45, 43	anim12i 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
47	46	anim2i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
48		3anass 1093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
49	47, 48	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
50		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑥)
51		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑧)
52	50, 51	anim12i 611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
53	52	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
54		xrltletr 13140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) → ((𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) → 𝑎 < 𝑧))
55	49, 53, 54	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑎 < 𝑧)
56		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 < 𝑏)
57	56	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 < 𝑏)
58	55, 57	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))
59		rabid 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
60	44, 58, 59	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
61	60	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
62		iooval 13352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
63	62	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
64	61, 63	eleqtrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
65	41, 64	sylan2b 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
66	38, 65	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
67	66	expr 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
68	32, 33, 34, 67	ssrd 3986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
69	22, 68	sylanl2 677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
70		eleq2 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
71		sseq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
72	70, 71	anbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
73	72	rspcev 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
74	11, 31, 69, 73	syl12anc 833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
75	74	ancom1s 649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
76	75	expl 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
77	7	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78		peano2re 11391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
79	9	icoreelrn 36545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
80	77, 78, 79	syl2anc2 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
81		elioore 13358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
82	81	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
83	82	leidd 11784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
84	82	ltp1d 12148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
85	82, 83, 84	jca32 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
86		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
87		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
88	86, 87	anbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
89	88	elrab 3682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
90	85, 89	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))})
91		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))
92		nfrab1 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}
93		nfcv 2901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)+∞)
94		rabid 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))))
95		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
96		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
97	82	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
98	97	rexrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
99	95	rexrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
100		elioopnf 13424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥)))
101	100	simplbda 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑎 < 𝑥)
102	101	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑥)
103		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
104	103	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
105	96, 98, 99, 102, 104	xrltletrd 13144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑧)
106		elioopnf 13424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧)))
107	106	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
108	107	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
109	108	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
110	95, 105, 109	mp2and 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞))
111	110	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
112	94, 111	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
113	91, 92, 93, 112	ssrd 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))
114	90, 113	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
115		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)+∞))
116	115	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)))
117	116	anbi2d 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))))
118	115	sseq2d 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
119	118	anbi2d 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))))
120	117, 119	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = +∞ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))))
121	114, 120	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
122	121	impl 454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
123	122	ancom1s 649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
124		eleq2 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}))
125		sseq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
126	124, 125	anbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
127	126	rspcev 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
128	80, 123, 127	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
129	128	ancom1s 649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
130	129	expl 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
131	7	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)-∞))
133	132	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
134	133	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
135	134	pm5.32i 573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
136		nltmnf 13113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 < -∞)
137	136	intnand 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
138		eliooord 13387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
139	137, 138	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞))
140	139	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
141	140	impd 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) ∧ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
142	141	ancomsd 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
143	135, 142	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
144	20, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
145	131, 144	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
146	145	ancom1s 649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = -∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
147	146	expl 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = -∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
148	76, 130, 147	3jaoi 1425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
149	5, 148	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
150	149	expdimp 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
151	150	ancoms 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
152		eleq2 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
153		sseq2 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖 ⊆ 𝑜 ↔ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
154	153	anbi2d 627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
155	154	rexbidv 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
156	152, 155	imbi12d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
157	151, 156	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
158	157	rexlimivv 3197	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
159	4, 158	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
160	159	rgen 3061	. . 3 ⊢ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
161	160	rgenw 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
162		iooex 13351	. . . . 5 ⊢ (,) ∈ V
163	162	rnex 7905	. . . 4 ⊢ ran (,) ∈ V
164		unirnioo 13430	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
165	9	icoreunrn 36543	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼
166	164, 165	eqtr3i 2760	. . . 4 ⊢ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼
167		tgss2 22710	. . . 4 ⊢ ((ran (,) ∈ V ∧ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼) → ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
168	163, 166, 167	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
169	164	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
170	168, 169	bitr4i 277	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
171	161, 170	mpbir 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∨ w3o 1084 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ∀wral 3059 ∃wrex 3068 {crab 3430 Vcvv 3472 ⊆ wss 3947 𝒫 cpw 4601 ∪ cuni 4907 class class class wbr 5147 × cxp 5673 ran crn 5676 “ cima 5678 Fn wfn 6537 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℝcr 11111 1c1 11113 + caddc 11115 +∞cpnf 11249 -∞cmnf 11250 ℝ^*cxr 11251 < clt 11252 ≤ cle 11253 (,)cioo 13328 [,)cico 13330 topGenctg 17387

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-ioo 13332 df-ico 13334 df-topgen 17393

This theorem is referenced by: relowlpssretop 36548

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