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Theorem relowlssretop 36548
Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlssretop.1 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
relowlssretop (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ)

Proof of Theorem relowlssretop
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 π‘œ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 13429 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
2 ffn 6718 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3 ovelrn 7586 . . . . . 6 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (π‘œ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5 (π‘œ ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏))
5 elxr 13101 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℝ* ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞))
6 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
7 elioore 13359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
86, 7anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
9 relowlssretop.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ([,) β€œ (ℝ Γ— ℝ))
109icoreelrn 36546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
127adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
137leidd 11785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
156rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
16 elioo1 13369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)))
1715, 16syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)))
1817biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏))
1918simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘₯ < 𝑏)
20 rexr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
21203anim1i 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏))
22 rexr 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℝ β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
23 elico1 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑏) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)))
2420, 22, 23syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑏) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)))
2524biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑏)))
268, 21, 25syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑏)))
27 icoreval 36538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
288, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
2928eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘₯[,)𝑏) ↔ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
3026, 29sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
3112, 14, 19, 30mp3and 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
32 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
33 nfrab1 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
34 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧(π‘Ž(,)𝑏)
35 iooval 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)})
3635eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)}))
3736anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
3837pm5.32i 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) ↔ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
39 rabid 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)} ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)))
40 rabid 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
4139, 40anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
42 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
4342rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
4443ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
45 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
4645, 43anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*))
4746anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)))
48 3anass 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ↔ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*)))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*))
50 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) β†’ π‘Ž < π‘₯)
51 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)
5250, 51anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) β†’ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑧))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑧))
54 xrltletr 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑧) β†’ π‘Ž < 𝑧))
5549, 53, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ π‘Ž < 𝑧)
56 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) β†’ 𝑧 < 𝑏)
5756ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ 𝑧 < 𝑏)
5855, 57jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ (π‘Ž < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))
59 rabid 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
6044, 58, 59sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
6160adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
62 iooval 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
6461, 63eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
6541, 64sylan2b 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ* ∣ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
6638, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
6766expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
6832, 33, 34, 67ssrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
6922, 68sylanl2 678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
70 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ↔ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
71 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} β†’ (𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
7270, 71anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)) ↔ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
7372rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼 ∧ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
7411, 31, 69, 73syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
7574ancom1s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
7675expl 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℝ β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
777adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
78 peano2re 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
799icoreelrn 36546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∈ 𝐼)
8077, 78, 79syl2anc2 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∈ 𝐼)
81 elioore 13359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8382leidd 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
8482ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + 1))
8582, 83, 84jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘₯ + 1))))
86 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = π‘₯ β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ π‘₯ ≀ π‘₯))
87 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 < (π‘₯ + 1) ↔ π‘₯ < (π‘₯ + 1)))
8886, 87anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)) ↔ (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘₯ + 1))))
8988elrab 3684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < (π‘₯ + 1))))
9085, 89sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))})
91 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑧(π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞))
92 nfrab1 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))}
93 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑧(π‘Ž(,)+∞)
94 rabid 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))))
95 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
96 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
9782adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9897rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
9995rexrd 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
100 elioopnf 13425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘Ž < π‘₯)))
101100simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ π‘Ž < π‘₯)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ π‘Ž < π‘₯)
103 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)
104103adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)
10596, 98, 99, 102, 104xrltletrd 13145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ π‘Ž < 𝑧)
106 elioopnf 13425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž ∈ ℝ* β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑧)))
107106biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž ∈ ℝ* β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)+∞)))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)+∞)))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ π‘Ž < 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)+∞)))
11095, 105, 109mp2and 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1)))) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)+∞))
111110ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))) β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)+∞)))
11294, 111biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} β†’ 𝑧 ∈ (π‘Ž(,)+∞)))
11391, 92, 93, 112ssrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)+∞))
11490, 113jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)+∞)))
115 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = +∞ β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = (π‘Ž(,)+∞))
116115eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = +∞ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)))
117116anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = +∞ β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ↔ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞))))
118115sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = +∞ β†’ ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)+∞)))
119118anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = +∞ β†’ ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)) ↔ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)+∞))))
120117, 119imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = +∞ β†’ (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))) ↔ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)+∞)))))
121114, 120mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = +∞ β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
122121impl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = +∞ ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
123122ancom1s 650 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
124 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} β†’ (π‘₯ ∈ 𝑖 ↔ π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))}))
125 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} β†’ (𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
126124, 125anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)) ↔ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
127126rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∈ 𝐼 ∧ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < (π‘₯ + 1))} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
12880, 123, 127syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
129128ancom1s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 = +∞ ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
130129expl 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = +∞ β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
1317adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
132 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = -∞ β†’ (π‘Ž(,)𝑏) = (π‘Ž(,)-∞))
133132eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = -∞ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞)))
134133adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞)))
135134pm5.32i 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) ↔ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞)))
136 nltmnf 13114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ Β¬ π‘₯ < -∞)
137136intnand 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ Β¬ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < -∞))
138 eliooord 13388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞) β†’ (π‘Ž < π‘₯ ∧ π‘₯ < -∞))
139137, 138nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞))
140139pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))))
141140impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
142141ancomsd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)-∞)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
143135, 142biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
14420, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
145131, 144mpcom 38 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
146145ancom1s 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 = -∞ ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
147146expl 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = -∞ β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
14876, 130, 1473jaoi 1426 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
1495, 148sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ* β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
150149expdimp 452 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
151150ancoms 458 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
152 eleq2 2821 . . . . . . . 8 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ ↔ π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏)))
153 sseq2 4009 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑖 βŠ† π‘œ ↔ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
154153anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
155154rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
156152, 155imbi12d 343 . . . . . . 7 (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ)) ↔ (π‘₯ ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))))
157151, 156syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ))))
158157rexlimivv 3198 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* π‘œ = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ)))
1594, 158sylbi 216 . . . 4 (π‘œ ∈ ran (,) β†’ (π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ)))
160159rgen 3062 . . 3 βˆ€π‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ))
161160rgenw 3064 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ))
162 iooex 13352 . . . . 5 (,) ∈ V
163162rnex 7906 . . . 4 ran (,) ∈ V
164 unirnioo 13431 . . . . 5 ℝ = βˆͺ ran (,)
1659icoreunrn 36544 . . . . 5 ℝ = βˆͺ 𝐼
166164, 165eqtr3i 2761 . . . 4 βˆͺ ran (,) = βˆͺ 𝐼
167 tgss2 22711 . . . 4 ((ran (,) ∈ V ∧ βˆͺ ran (,) = βˆͺ 𝐼) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ ran (,)βˆ€π‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ))))
168163, 166, 167mp2an 689 . . 3 ((topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ ran (,)βˆ€π‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ)))
169164raleqi 3322 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ ran (,)βˆ€π‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ)))
170168, 169bitr4i 277 . 2 ((topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘œ ∈ ran (,)(π‘₯ ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘₯ ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 βŠ† π‘œ)))
171161, 170mpbir 230 1 (topGenβ€˜ran (,)) βŠ† (topGenβ€˜πΌ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  topGenctg 17388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-topgen 17394
This theorem is referenced by:  relowlpssretop  36549
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