relowlssretop - Mathbox for ML

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Theorem relowlssretop 35834

Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
relowlssretop.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

**Assertion**
Ref	Expression
relowlssretop	⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Proof of Theorem relowlssretop Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑜 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13364	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ^* × ℝ^*)⟶𝒫 ℝ
2		ffn 6668	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ^* × ℝ^)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ^ × ℝ^*))
3		ovelrn 7530	. . . . . 6 ⊢ ((,) Fn (ℝ^* × ℝ^) → (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^ ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏)))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏))
5		elxr 13037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞))
6		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		elioore 13294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
9		relowlssretop.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
10	9	icoreelrn 35832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
12	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	7	leidd 11721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ≤ 𝑥)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
15	6	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ^*)
16		elioo1 13304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
17	15, 16	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
18	17	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
19	18	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 < 𝑏)
20		rexr 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
21	20	3anim1i 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏))
22		rexr 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ^*)
23		elico1 13307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
24	20, 22, 23	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
25	24	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
26	8, 21, 25	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
27		icoreval 35824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
29	28	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
30	26, 29	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
31	12, 14, 19, 30	mp3and 1464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
32		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
33		nfrab1 3426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
34		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)𝑏)
35		iooval 13288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)})
36	35	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)}))
37	36	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
38	37	pm5.32i 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^ ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})))
39		rabid 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)))
40		rabid 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
41	39, 40	anbi12i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
42		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
44	43	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
45		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
46	45, 43	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
47	46	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
48		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^ ∧ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*)))
49	47, 48	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*))
50		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑥)
51		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑥 ≤ 𝑧)
52	50, 51	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧))
54		xrltletr 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) → ((𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) → 𝑎 < 𝑧))
55	49, 53, 54	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑎 < 𝑧)
56		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 < 𝑏)
57	56	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 < 𝑏)
58	55, 57	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))
59		rabid 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
60	44, 58, 59	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
61	60	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
62		iooval 13288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑎 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
64	61, 63	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ^ ∧ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
65	41, 64	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ^ ∣ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
66	38, 65	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
67	66	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
68	32, 33, 34, 67	ssrd 3949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
69	22, 68	sylanl2 679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
70		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
71		sseq1 3969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
72	70, 71	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
73	72	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
74	11, 31, 69, 73	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
75	74	ancom1s 651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
76	75	expl 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
77	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
79	9	icoreelrn 35832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
80	77, 78, 79	syl2anc2 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
81		elioore 13294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
83	82	leidd 11721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ≤ 𝑥)
84	82	ltp1d 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
85	82, 83, 84	jca32 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
86		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
87		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
88	86, 87	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
89	88	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1))))
90	85, 89	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))})
91		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))
92		nfrab1 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}
93		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎(,)+∞)
94		rabid 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))))
95		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
96		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 ∈ ℝ^*)
97	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
98	97	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
99	95	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
100		elioopnf 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥)))
101	100	simplbda 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑎 < 𝑥)
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑥)
103		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ≤ 𝑧)
105	96, 98, 99, 102, 104	xrltletrd 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑧)
106		elioopnf 13360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → (𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧)))
107	106	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ^* → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
110	95, 105, 109	mp2and 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞))
111	110	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
112	94, 111	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
113	91, 92, 93, 112	ssrd 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))
114	90, 113	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
115		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)+∞))
116	115	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)))
117	116	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))))
118	115	sseq2d 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = +∞ → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
119	118	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))))
120	117, 119	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = +∞ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))))
121	114, 120	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
122	121	impl 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
123	122	ancom1s 651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
124		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑥 ∈ 𝑖 ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))}))
125		sseq1 3969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
126	124, 125	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
127	126	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
128	80, 123, 127	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
129	128	ancom1s 651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
130	129	expl 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
131	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)-∞))
133	132	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = -∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
135	134	pm5.32i 575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
136		nltmnf 13050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 < -∞)
137	136	intnand 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
138		eliooord 13323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → (𝑎 < 𝑥 ∧ 𝑥 < -∞))
139	137, 138	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ¬ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞))
140	139	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
141	140	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) ∧ (𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
142	141	ancomsd 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
143	135, 142	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ^* → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
144	20, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
145	131, 144	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
146	145	ancom1s 651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 = -∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
147	146	expl 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = -∞ → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
148	76, 130, 147	3jaoi 1427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞) → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
149	5, 148	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ^* → ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
150	149	expdimp 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ^* ∧ 𝑎 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
151	150	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
152		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
153		sseq2 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖 ⊆ 𝑜 ↔ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
154	153	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
155	154	rexbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
156	152, 155	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
157	151, 156	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ^* ∧ 𝑏 ∈ ℝ^*) → (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
158	157	rexlimivv 3196	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ^* ∃𝑏 ∈ ℝ^* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
159	4, 158	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑜 ∈ ran (,) → (𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
160	159	rgen 3066	. . 3 ⊢ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
161	160	rgenw 3068	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))
162		iooex 13287	. . . . 5 ⊢ (,) ∈ V
163	162	rnex 7849	. . . 4 ⊢ ran (,) ∈ V
164		unirnioo 13366	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ ran (,)
165	9	icoreunrn 35830	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼
166	164, 165	eqtr3i 2766	. . . 4 ⊢ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼
167		tgss2 22337	. . . 4 ⊢ ((ran (,) ∈ V ∧ ∪ ran (,) = ∪ 𝐼) → ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜))))
168	163, 166, 167	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
169	164	raleqi 3311	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
170	168, 169	bitr4i 277	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥 ∈ 𝑜 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑥 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑜)))
171	161, 170	mpbir 230	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ w3o 1086 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 {crab 3407 Vcvv 3445 ⊆ wss 3910 𝒫 cpw 4560 ∪ cuni 4865 class class class wbr 5105 × cxp 5631 ran crn 5634 “ cima 5636 Fn wfn 6491 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℝcr 11050 1c1 11052 + caddc 11054 +∞cpnf 11186 -∞cmnf 11187 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 (,)cioo 13264 [,)cico 13266 topGenctg 17319

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-id 5531 df-po 5545 df-so 5546 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-ioo 13268 df-ico 13270 df-topgen 17325

This theorem is referenced by: relowlpssretop 35835

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