Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relowlssretop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relowlssretop 35146
Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
relowlssretop.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
relowlssretop (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)

Proof of Theorem relowlssretop
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑜 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 12914 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 6498 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 ovelrn 7334 . . . . . 6 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏)))
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5 (𝑜 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏))
5 elxr 12587 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℝ* ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞))
6 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
7 elioore 12844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥 ∈ ℝ)
86, 7anim12ci 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
9 relowlssretop.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
109icoreelrn 35144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼)
127adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
137leidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑥𝑥)
1413adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥𝑥)
156rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ*)
16 elioo1 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)))
1715, 16syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)))
1817biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏))
1918simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 < 𝑏)
20 rexr 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
21203anim1i 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏))
22 rexr 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℝ*)
23 elico1 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏)))
2420, 22, 23syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏)))
2524biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
268, 21, 25syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏)))
27 icoreval 35136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})
288, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥[,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})
2928eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ (𝑥[,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}))
3026, 29sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑥𝑥 < 𝑏) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}))
3112, 14, 19, 30mp3and 1465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})
32 nfv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏))
33 nfrab1 3286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}
34 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧(𝑎(,)𝑏)
35 iooval 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)})
3635eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)}))
3736anbi1d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})))
3837pm5.32i 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})))
39 rabid 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)))
40 rabid 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))
4139, 40anbi12i 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏))))
42 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ)
4342rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
4443ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
45 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4645, 43anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏))) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
4746anim2i 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)))
48 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ↔ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*)))
4947, 48sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
50 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) → 𝑎 < 𝑥)
51 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑥𝑧)
5250, 51anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏))) → (𝑎 < 𝑥𝑥𝑧))
5352adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑥𝑥𝑧))
54 xrltletr 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑎 < 𝑥𝑥𝑧) → 𝑎 < 𝑧))
5549, 53, 54sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑎 < 𝑧)
56 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 < 𝑏)
5756ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 < 𝑏)
5855, 57jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏))
59 rabid 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)))
6044, 58, 59sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
6160adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
62 iooval 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
6362adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → (𝑎(,)𝑏) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑧𝑧 < 𝑏)})
6461, 63eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
6541, 64sylan2b 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)} ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
6638, 65sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)})) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏))
6766expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
6832, 33, 34, 67ssrd 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
6922, 68sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
70 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑥𝑖𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)}))
71 sseq1 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7270, 71anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} → ((𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
7372rspcev 3524 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑏)} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7411, 31, 69, 73syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7574ancom1s 653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
7675expl 461 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℝ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
777adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
78 peano2re 10884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
799icoreelrn 35144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
8077, 78, 79syl2anc2 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼)
81 elioore 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
8281adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8382leidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥𝑥)
8482ltp1d 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
8582, 83, 84jca32 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑥𝑥 < (𝑥 + 1))))
86 breq2 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 → (𝑥𝑧𝑥𝑥))
87 breq1 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
8886, 87anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑥𝑥𝑥 < (𝑥 + 1))))
8988elrab 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑥𝑥 < (𝑥 + 1))))
9085, 89sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))})
91 nfv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧(𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))
92 nfrab1 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))}
93 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧(𝑎(,)+∞)
94 rabid 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))))
95 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
96 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
9782adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9897rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9995rexrd 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
100 elioopnf 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥)))
101100simplbda 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → 𝑎 < 𝑥)
102101adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑥)
103 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑥𝑧)
104103adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑥𝑧)
10596, 98, 99, 102, 104xrltletrd 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑎 < 𝑧)
106 elioopnf 12910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℝ* → (𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧)))
107106biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ℝ* → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
108107adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
109108adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
11095, 105, 109mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1)))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞))
111110ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))) → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
11294, 111syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → 𝑧 ∈ (𝑎(,)+∞)))
11391, 92, 93, 112ssrd 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))
11490, 113jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
115 oveq2 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = +∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)+∞))
116115eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = +∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)))
117116anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞))))
118115sseq2d 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = +∞ → ({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))
119118anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = +∞ → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞))))
120117, 119imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = +∞ → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)+∞)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)+∞)))))
121114, 120mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
122121impl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
123122ancom1s 653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
124 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑥𝑖𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))}))
125 sseq1 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → (𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
126124, 125anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} → ((𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
127126rspcev 3524 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∈ 𝐼 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ∧ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝑧𝑧 < (𝑥 + 1))} ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
12880, 123, 127syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
129128ancom1s 653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 = +∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
130129expl 461 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = +∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
1317adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132 oveq2 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = -∞ → (𝑎(,)𝑏) = (𝑎(,)-∞))
133132eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = -∞ → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
134133adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
135134pm5.32i 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)))
136 nltmnf 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 < -∞)
137136intnand 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ (𝑎 < 𝑥𝑥 < -∞))
138 eliooord 12873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → (𝑎 < 𝑥𝑥 < -∞))
139137, 138nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞))
140139pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
141140impd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞) ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
142141ancomsd 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)-∞)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
143135, 142syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ* → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
14420, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
145131, 144mpcom 38 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 = -∞) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
146145ancom1s 653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 = -∞ ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
147146expl 461 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = -∞ → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
14876, 130, 1473jaoi 1428 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℝ ∨ 𝑏 = +∞ ∨ 𝑏 = -∞) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
1495, 148sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℝ* → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
150149expdimp 456 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
151150ancoms 462 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
152 eleq2 2821 . . . . . . . 8 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑜𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏)))
153 sseq2 3901 . . . . . . . . . 10 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑖𝑜𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
154153anbi2d 632 . . . . . . . . 9 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑖𝑖𝑜) ↔ (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
155154rexbidv 3206 . . . . . . . 8 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜) ↔ ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
156152, 155imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
157151, 156syl5ibrcom 250 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))))
158157rexlimivv 3201 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑜 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
1594, 158sylbi 220 . . . 4 (𝑜 ∈ ran (,) → (𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
160159rgen 3063 . . 3 𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))
161160rgenw 3065 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))
162 iooex 12837 . . . . 5 (,) ∈ V
163162rnex 7636 . . . 4 ran (,) ∈ V
164 unirnioo 12916 . . . . 5 ℝ = ran (,)
1659icoreunrn 35142 . . . . 5 ℝ = 𝐼
166164, 165eqtr3i 2763 . . . 4 ran (,) = 𝐼
167 tgss2 21731 . . . 4 ((ran (,) ∈ V ∧ ran (,) = 𝐼) → ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜))))
168163, 166, 167mp2an 692 . . 3 ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
169164raleqi 3313 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)) ↔ ∀𝑥 ran (,)∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
170168, 169bitr4i 281 . 2 ((topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑜 ∈ ran (,)(𝑥𝑜 → ∃𝑖𝐼 (𝑥𝑖𝑖𝑜)))
171161, 170mpbir 234 1 (topGen‘ran (,)) ⊆ (topGen‘𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3397  wss 3841  𝒫 cpw 4485   cuni 4793   class class class wbr 5027   × cxp 5517  ran crn 5520  cima 5522   Fn wfn 6328  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  cr 10607  1c1 10609   + caddc 10611  +∞cpnf 10743  -∞cmnf 10744  *cxr 10745   < clt 10746  cle 10747  (,)cioo 12814  [,)cico 12816  topGenctg 16807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-topgen 16813
This theorem is referenced by:  relowlpssretop  35147
  Copyright terms: Public domain W3C validator