MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1plusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1plusg 23946
Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt12f 23525 which cannot be used directly because +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
cnmpt1plusg.p + = (+gβ€˜πΊ)
cnmpt1plusg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
cnmpt1plusg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt1plusg.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1plusg.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1plusg (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   + (π‘₯)

Proof of Theorem cnmpt1plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt1plusg.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
3 tgpcn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
4 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
53, 4tmdtopon 23940 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
7 cnmpt1plusg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cnf2 23108 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
91, 6, 7, 8syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
109fvmptelcdm 7108 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
11 cnmpt1plusg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
12 cnf2 23108 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
131, 6, 11, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆ(Baseβ€˜πΊ))
1413fvmptelcdm 7108 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
15 cnmpt1plusg.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
16 eqid 2726 . . . . 5 (+π‘“β€˜πΊ) = (+π‘“β€˜πΊ)
174, 15, 16plusfval 18580 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴 + 𝐡))
1810, 14, 17syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴 + 𝐡))
1918mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐡)))
203, 16tmdcn 23942 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
212, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
221, 7, 11, 21cnmpt12f 23525 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2319, 22eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  TopOpenctopn 17376  +𝑓cplusf 18570  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083   Γ—t ctx 23419  TopMndctmd 23929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-topgen 17398  df-plusf 18572  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-tx 23421  df-tmd 23931
This theorem is referenced by:  tmdmulg  23951  tmdgsum  23954  tmdlactcn  23961  clsnsg  23969  tgpt0  23978  cnmpt1mulr  24041
  Copyright terms: Public domain W3C validator