MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdcn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tmdcn2 23593
Description: Write out the definition of continuity of +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdcn2.1 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tmdcn2.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tmdcn2.3 + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tmdcn2 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,π‘₯,𝑦,𝐺   𝑒,𝐽,𝑣   𝑒,π‘ˆ,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑒,𝑋,𝑣   𝑒,π‘Œ,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒)   + (π‘₯,𝑦,𝑣,𝑒)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem tmdcn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdcn2.2 . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
2 tmdcn2.1 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2tmdtopon 23585 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
43ad2antrr 725 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5 eqid 2733 . . . . . 6 (+π‘“β€˜πΊ) = (+π‘“β€˜πΊ)
61, 5tmdcn 23587 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
76ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
8 simpr1 1195 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
9 simpr2 1196 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
108, 9opelxpd 5716 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
11 txtopon 23095 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
124, 4, 11syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)))
13 toponuni 22416 . . . . . 6 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 Γ— 𝐡)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
1510, 14eleqtrd 2836 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽))
16 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
1716cncnpi 22782 . . . 4 (((+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)) β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
187, 15, 17syl2anc 585 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐽) CnP 𝐽)β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©))
19 simplr 768 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
20 tmdcn2.3 . . . . . 6 + = (+gβ€˜πΊ)
212, 20, 5plusfval 18568 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
228, 9, 21syl2anc 585 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
23 simpr3 1197 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
2422, 23eqeltrd 2834 . . 3 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+π‘“β€˜πΊ)π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
254, 4, 18, 19, 8, 9, 24txcnpi 23112 . 2 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ)))
26 dfss3 3971 . . . . . . 7 ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)𝑧 ∈ (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ))
27 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ)))
282, 5plusffn 18570 . . . . . . . . . 10 (+π‘“β€˜πΊ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
29 elpreima 7060 . . . . . . . . . 10 ((+π‘“β€˜πΊ) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ)))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ))
3127, 30bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) ↔ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ)))
3231ralxp 5842 . . . . . . 7 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)𝑧 ∈ (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ))
3326, 32bitri 275 . . . . . 6 ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ))
34 opelxp 5713 . . . . . . . . . 10 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡))
35 df-ov 7412 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯(+π‘“β€˜πΊ)𝑦) = ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
362, 20, 5plusfval 18568 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+π‘“β€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ + 𝑦))
3735, 36eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (π‘₯ + 𝑦))
3834, 37sylbi 216 . . . . . . . . 9 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) = (π‘₯ + 𝑦))
3938eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) β†’ (((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ))
4039biimpa 478 . . . . . . 7 ((⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ)
41402ralimi 3124 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ ((+π‘“β€˜πΊ)β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ)
4233, 41sylbi 216 . . . . 5 ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ)
43423anim3i 1155 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ))
4443reximi 3085 . . 3 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ))
4544reximi 3085 . 2 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (β—‘(+π‘“β€˜πΊ) β€œ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ))
4625, 45syl 17 1 (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑋 ∈ 𝑒 ∧ π‘Œ ∈ 𝑣 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑒 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑣 (π‘₯ + 𝑦) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  TopOpenctopn 17367  +𝑓cplusf 18558  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   CnP ccnp 22729   Γ—t ctx 23064  TopMndctmd 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-topgen 17389  df-plusf 18560  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-tmd 23576
This theorem is referenced by:  tsmsxp  23659
  Copyright terms: Public domain W3C validator