MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgptopon 23593
Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
tgptopon.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
tgptopon (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem tgptopon
StepHypRef Expression
1 tgptps 23591 . 2 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
2 tgptopon.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 tgpcn.j . . 3 ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
42, 3istps 22443 . 2 (๐บ โˆˆ TopSp โ†” ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))
51, 4sylib 217 1 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  Basecbs 17146  TopOpenctopn 17369  TopOnctopon 22419  TopSpctps 22441  TopGrpctgp 23582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7414  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-tmd 23583  df-tgp 23584
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  23601  tgpmulg  23604  tgpmulg2  23605  subgtgp  23616  subgntr  23618  opnsubg  23619  clssubg  23620  clsnsg  23621  cldsubg  23622  tgpconncompeqg  23623  tgpconncomp  23624  tgpconncompss  23625  snclseqg  23627  tgphaus  23628  tgpt1  23629  tgpt0  23630  qustgpopn  23631  qustgplem  23632  qustgphaus  23634  prdstgpd  23636  tgptsmscld  23662  tsmsxplem1  23664  pl1cn  33004
  Copyright terms: Public domain W3C validator