MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgptopon 23456
Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
tgptopon.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
tgptopon (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))

Proof of Theorem tgptopon
StepHypRef Expression
1 tgptps 23454 . 2 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
2 tgptopon.x . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 tgpcn.j . . 3 ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
42, 3istps 22306 . 2 (๐บ โˆˆ TopSp โ†” ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))
51, 4sylib 217 1 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6500  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  TopOnctopon 22282  TopSpctps 22304  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  23464  tgpmulg  23467  tgpmulg2  23468  subgtgp  23479  subgntr  23481  opnsubg  23482  clssubg  23483  clsnsg  23484  cldsubg  23485  tgpconncompeqg  23486  tgpconncomp  23487  tgpconncompss  23488  snclseqg  23490  tgphaus  23491  tgpt1  23492  tgpt0  23493  qustgpopn  23494  qustgplem  23495  qustgphaus  23497  prdstgpd  23499  tgptsmscld  23525  tsmsxplem1  23527  pl1cn  32600
  Copyright terms: Public domain W3C validator