Theorem tgptopon 22979

Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgptopon	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tgptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptps 22977	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 21831	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 221	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  Basecbs 16760  TopOpenctopn 16926  TopOnctopon 21807  TopSpctps 21829  TopGrpctgp 22968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-tmd 22969  df-tgp 22970

This theorem is referenced by:  tgpsubcn  22987  tgpmulg  22990  tgpmulg2  22991  subgtgp  23002  subgntr  23004  opnsubg  23005  clssubg  23006  clsnsg  23007  cldsubg  23008  tgpconncompeqg  23009  tgpconncomp  23010  tgpconncompss  23011  snclseqg  23013  tgphaus  23014  tgpt1  23015  tgpt0  23016  qustgpopn  23017  qustgplem  23018  qustgphaus  23020  prdstgpd  23022  tgptsmscld  23048  tsmsxplem1  23050  pl1cn  31619