Theorem tgptopon 24239

Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgptopon	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tgptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptps 24237	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 23091	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 221	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  TopOpenctopn 17469  TopOnctopon 23067  TopSpctps 23089  TopGrpctgp 24228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-tmd 24229  df-tgp 24230

This theorem is referenced by:  tgpsubcn  24247  tgpmulg  24250  tgpmulg2  24251  subgtgp  24262  subgntr  24264  opnsubg  24265  clssubg  24266  clsnsg  24267  cldsubg  24268  tgpconncompeqg  24269  tgpconncomp  24270  tgpconncompss  24271  snclseqg  24273  tgphaus  24274  tgpt1  24275  tgpt0  24276  qustgpopn  24277  qustgplem  24278  qustgphaus  24280  prdstgpd  24282  tgptsmscld  24308  tsmsxplem1  24310  pl1cn  34345