Theorem tgptopon 23969

Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgptopon	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tgptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptps 23967	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22821	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 218	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17384  TopOnctopon 22797  TopSpctps 22819  TopGrpctgp 23958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-tmd 23959  df-tgp 23960

This theorem is referenced by:  tgpsubcn  23977  tgpmulg  23980  tgpmulg2  23981  subgtgp  23992  subgntr  23994  opnsubg  23995  clssubg  23996  clsnsg  23997  cldsubg  23998  tgpconncompeqg  23999  tgpconncomp  24000  tgpconncompss  24001  snclseqg  24003  tgphaus  24004  tgpt1  24005  tgpt0  24006  qustgpopn  24007  qustgplem  24008  qustgphaus  24010  prdstgpd  24012  tgptsmscld  24038  tsmsxplem1  24040  pl1cn  33945