Theorem tgptopon 24025

Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgptopon	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tgptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptps 24023	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22877	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 218	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  TopOpenctopn 17440  TopOnctopon 22853  TopSpctps 22875  TopGrpctgp 24014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-tmd 24015  df-tgp 24016

This theorem is referenced by:  tgpsubcn  24033  tgpmulg  24036  tgpmulg2  24037  subgtgp  24048  subgntr  24050  opnsubg  24051  clssubg  24052  clsnsg  24053  cldsubg  24054  tgpconncompeqg  24055  tgpconncomp  24056  tgpconncompss  24057  snclseqg  24059  tgphaus  24060  tgpt1  24061  tgpt0  24062  qustgpopn  24063  qustgplem  24064  qustgphaus  24066  prdstgpd  24068  tgptsmscld  24094  tsmsxplem1  24096  pl1cn  33991