Theorem tgptopon 23967

Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgptopon	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tgptopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptps 23965	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 22819	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 218	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  TopOpenctopn 17325  TopOnctopon 22795  TopSpctps 22817  TopGrpctgp 23956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-ov 7352  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-tmd 23957  df-tgp 23958

This theorem is referenced by:  tgpsubcn  23975  tgpmulg  23978  tgpmulg2  23979  subgtgp  23990  subgntr  23992  opnsubg  23993  clssubg  23994  clsnsg  23995  cldsubg  23996  tgpconncompeqg  23997  tgpconncomp  23998  tgpconncompss  23999  snclseqg  24001  tgphaus  24002  tgpt1  24003  tgpt0  24004  qustgpopn  24005  qustgplem  24006  qustgphaus  24008  prdstgpd  24010  tgptsmscld  24036  tsmsxplem1  24038  pl1cn  33922