MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2plusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2plusg 23391
Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 22978 which cannot be used directly because +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
cnmpt1plusg.p + = (+gβ€˜πΊ)
cnmpt1plusg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
cnmpt1plusg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt2plusg.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt2plusg.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2plusg.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐺   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   + (π‘₯,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 txtopon 22894 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
86, 7tmdtopon 23384 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
11 cnf2 22552 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
124, 9, 10, 11syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
13 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1413fmpo 7992 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
1512, 14sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1615r19.21bi 3232 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1716r19.21bi 3232 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
18173impa 1110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
20 cnf2 22552 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
214, 9, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
22 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡)
2322fmpo 7992 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2524r19.21bi 3232 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2625r19.21bi 3232 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
27263impa 1110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
29 eqid 2737 . . . . 5 (+π‘“β€˜πΊ) = (+π‘“β€˜πΊ)
307, 28, 29plusfval 18464 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴 + 𝐡))
3118, 27, 30syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴 + 𝐡))
3231mpoeq3dva 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 + 𝐡)))
336, 29tmdcn 23386 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
345, 33syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 22978 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
3632, 35eqeltrrd 2839 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062   Γ— cxp 5629  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  TopOpenctopn 17263  +𝑓cplusf 18454  TopOnctopon 22211   Cn ccn 22527   Γ—t ctx 22863  TopMndctmd 23373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-map 8725  df-topgen 17285  df-plusf 18456  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cn 22530  df-tx 22865  df-tmd 23375
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  23393  oppgtmd  23400  prdstmdd  23427  cnmpt2mulr  23486
  Copyright terms: Public domain W3C validator