MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2plusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2plusg 23812
Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 23399 which cannot be used directly because +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
cnmpt1plusg.p + = (+gβ€˜πΊ)
cnmpt1plusg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
cnmpt1plusg.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt2plusg.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt2plusg.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2plusg.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐺   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   + (π‘₯,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 txtopon 23315 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
41, 2, 3syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
7 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
86, 7tmdtopon 23805 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
11 cnf2 22973 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
124, 9, 10, 11syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
13 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1413fmpo 8056 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
1512, 14sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1615r19.21bi 3246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1716r19.21bi 3246 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
18173impa 1108 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
20 cnf2 22973 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
214, 9, 19, 20syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
22 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡)
2322fmpo 8056 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2524r19.21bi 3246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2625r19.21bi 3246 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
27263impa 1108 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
29 eqid 2730 . . . . 5 (+π‘“β€˜πΊ) = (+π‘“β€˜πΊ)
307, 28, 29plusfval 18572 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴 + 𝐡))
3118, 27, 30syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴 + 𝐡))
3231mpoeq3dva 7488 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 + 𝐡)))
336, 29tmdcn 23807 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
345, 33syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (+π‘“β€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 23399 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(+π‘“β€˜πΊ)𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
3632, 35eqeltrrd 2832 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴 + 𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  TopOpenctopn 17371  +𝑓cplusf 18562  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284  TopMndctmd 23794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-topgen 17393  df-plusf 18564  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-tx 23286  df-tmd 23796
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  23814  oppgtmd  23821  prdstmdd  23848  cnmpt2mulr  23907
  Copyright terms: Public domain W3C validator