Theorem tmdlactcn 23996

Description: The left group action of element 𝐴 in a topological monoid 𝐺 is a continuous function. (Contributed by FL, 18-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgplacthmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑥))
tgplacthmeo.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tgplacthmeo.3	⊢ + = (+g‘𝐺)
tgplacthmeo.4	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdlactcn	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, +   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem tmdlactcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgplacthmeo.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑥))
2		tgplacthmeo.4	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgplacthmeo.3	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		tgplacthmeo.2	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6	2, 5	tmdtopon 23975	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
9	7, 7, 8	cnmptc 23556	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
10	7	cnmptid 23555	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
11	2, 3, 4, 7, 9, 10	cnmpt1plusg 23981	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
12	1, 11	eqeltrid 2833	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  TopOpenctopn 17391  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118  TopMndctmd 23964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8804  df-topgen 17413  df-plusf 18573  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-tx 23456  df-tmd 23966

This theorem is referenced by:  tgplacthmeo  23997  ghmcnp  24009