Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrn 42936
 Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrn.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
qndenserrn (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn
Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrn.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
32rrxtop 42926 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5 reex 10617 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
6 qssre 12346 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℝ
7 mapss 8436 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . 6 (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
10 eqid 2798 . . . . . . . 8 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
121, 10, 11rrxbasefi 24014 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1312eqcomd 2804 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14 rrxtps 42923 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15 eqid 2798 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1611, 15tpsuni 21541 . . . . . . 7 ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
171, 14, 163syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
182unieqi 4813 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1918eqcomi 2807 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽)
2113, 17, 203eqtrd 2837 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = 𝐽)
229, 21sseqtrd 3955 . . . 4 (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽)
23 eqid 2798 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2423clsss3 21664 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ 𝐽)
254, 22, 24syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ 𝐽)
2621eqcomd 2804 . . 3 (𝜑 𝐽 = (ℝ ↑m 𝐼))
2725, 26sseqtrd 3955 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
281ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝐽𝑣𝐽)
3029, 2eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐽𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32 ne0i 4250 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑣𝑣 ≠ ∅)
3332adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
3428, 15, 31, 33qndenserrnopn 42935 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑣)
35 df-rex 3112 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
3634, 35sylib 221 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
37 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦𝑣)
38 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
3937, 38elind 4121 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
4140eximdv 1918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
43 n0 4260 . . . . . . 7 ((𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
4442, 43sylibr 237 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)
4544ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
4645adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
4746ralrimiva 3149 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
484adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
4922adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽)
50 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5121adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝ ↑m 𝐼) = 𝐽)
5250, 51eleqtrd 2892 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 𝐽)
5323elcls 21678 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽𝑥 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
5448, 49, 52, 53syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
5547, 54mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)))
5627, 55eqelssd 3936 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ cuni 4800  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8389  Fincfn 8492  ℝcr 10525  ℚcq 12336  Basecbs 16475  TopOpenctopn 16687  Topctop 21498  TopSpctps 21537  clsccl 21623  ℝ^crrx 23987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-refld 20294  df-phl 20315  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-xms 22927  df-ms 22928  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-tng 23191  df-nrg 23192  df-nlm 23193  df-clm 23668  df-cph 23773  df-tcph 23774  df-rrx 23989 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator