Theorem qndenserrn 41457

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
qndenserrn	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn

Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		qndenserrn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
3	2	rrxtop 41447	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
5		reex 10365	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 12111	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		mapss 8188	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
8	5, 6, 7	mp2an 682	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
12	1, 10, 11	rrxbasefi 23627	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
13	12	eqcomd 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14		rrxtps 41444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
16	11, 15	tpsuni 21159	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
17	1, 14, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
18	2	unieqi 4682	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
19	18	eqcomi 2787	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽)
21	13, 17, 20	3eqtrd 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = ∪ 𝐽)
22	9, 21	sseqtrd 3860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
23		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
24	23	clsss3 21282	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
25	4, 22, 24	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
26	21	eqcomd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
27	25, 26	sseqtrd 3860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
28	1	ad2antrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ 𝐽)
30	29, 2	syl6eleq 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
31	30	ad2antlr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32		ne0i 4149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑣 → 𝑣 ≠ ∅)
33	32	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
34	28, 15, 31, 33	qndenserrnopn 41456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣)
35		df-rex 3096	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
36	34, 35	sylib 210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
37		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑣)
38		simpl 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼))
39	37, 38	elind 4021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
41	40	eximdv 1960	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼))))
42	36, 41	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
43		n0 4159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)))
44	42, 43	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)
45	44	ex 403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
46	45	adantlr 705	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
47	46	ralrimiva 3148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅))
48	4	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
49	22	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
50		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
51	21	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = ∪ 𝐽)
52	50, 51	eleqtrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
53	23	elcls 21296	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑𝑚 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
54	48, 49, 52, 53	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑𝑚 𝐼)) ≠ ∅)))
55	47, 54	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)))
56	27, 55	eqelssd 3841	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑𝑚 𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091  Vcvv 3398   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ∪ cuni 4673  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↑_𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243  ℝcr 10273  ℚcq 12100  Basecbs 16266  TopOpenctopn 16479  Topctop 21116  TopSpctps 21155  clsccl 21241  ℝ^crrx 23600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ico 12498  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-sum 14834  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-rnghom 19115  df-drng 19152  df-field 19153  df-subrg 19181  df-abv 19220  df-staf 19248  df-srng 19249  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lmhm 19428  df-lvec 19509  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-refld 20359  df-phl 20380  df-dsmm 20486  df-frlm 20501  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-xms 22544  df-ms 22545  df-nm 22806  df-ngp 22807  df-tng 22808  df-nrg 22809  df-nlm 22810  df-clm 23281  df-cph 23386  df-tcph 23387  df-rrx 23602

This theorem is referenced by: (None)