Theorem qndenserrn 46255

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
qndenserrn	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn

Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		qndenserrn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
3	2	rrxtop 46245	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
5		reex 11244	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 12999	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		mapss 8928	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
10		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
12	1, 10, 11	rrxbasefi 25458	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14		rrxtps 46242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
16	11, 15	tpsuni 22958	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
17	1, 14, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
18	2	unieqi 4924	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
19	18	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽)
21	13, 17, 20	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = ∪ 𝐽)
22	9, 21	sseqtrd 4036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
23		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
24	23	clsss3 23083	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
25	4, 22, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
26	21	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = (ℝ ↑m 𝐼))
27	25, 26	sseqtrd 4036	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
28	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ 𝐽)
30	29, 2	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32		ne0i 4347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑣 → 𝑣 ≠ ∅)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
34	28, 15, 31, 33	qndenserrnopn 46254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣)
35		df-rex 3069	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
36	34, 35	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
37		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑣)
38		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
39	37, 38	elind 4210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
41	40	eximdv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
42	36, 41	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
43		n0 4359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
46	45	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
47	46	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
48	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
49	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
50		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝ ↑m 𝐼) = ∪ 𝐽)
52	50, 51	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
53	23	elcls 23097	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
54	48, 49, 52, 53	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
55	47, 54	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)))
56	27, 55	eqelssd 4017	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℝcr 11152  ℚcq 12988  Basecbs 17245  TopOpenctopn 17468  Topctop 22915  TopSpctps 22954  clsccl 23042  ℝ^crrx 25431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-abv 20827  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-phl 21662  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-tng 24613  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-clm 25110  df-cph 25216  df-tcph 25217  df-rrx 25433

This theorem is referenced by: (None)