Theorem qndenserrn 43469

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
qndenserrn	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn

Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		qndenserrn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
3	2	rrxtop 43459	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
5		reex 10803	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 12538	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		mapss 8559	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
10		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
12	1, 10, 11	rrxbasefi 24279	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14		rrxtps 43456	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
16	11, 15	tpsuni 21805	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
17	1, 14, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
18	2	unieqi 4822	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
19	18	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽)
21	13, 17, 20	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = ∪ 𝐽)
22	9, 21	sseqtrd 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
23		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
24	23	clsss3 21928	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
25	4, 22, 24	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
26	21	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = (ℝ ↑m 𝐼))
27	25, 26	sseqtrd 3931	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
28	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ 𝐽)
30	29, 2	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32		ne0i 4239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑣 → 𝑣 ≠ ∅)
33	32	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
34	28, 15, 31, 33	qndenserrnopn 43468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣)
35		df-rex 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
36	34, 35	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
37		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑣)
38		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
39	37, 38	elind 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
41	40	eximdv 1925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
42	36, 41	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
43		n0 4251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
44	42, 43	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)
45	44	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
46	45	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
47	46	ralrimiva 3098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
48	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
49	22	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
50		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	21	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝ ↑m 𝐼) = ∪ 𝐽)
52	50, 51	eleqtrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
53	23	elcls 21942	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
54	48, 49, 52, 53	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
55	47, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)))
56	27, 55	eqelssd 3912	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  Vcvv 3401   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  ∪ cuni 4809  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ↑_m cmap 8497  Fincfn 8615  ℝcr 10711  ℚcq 12527  Basecbs 16684  TopOpenctopn 16898  Topctop 21762  TopSpctps 21801  clsccl 21887  ℝ^crrx 24252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790  ax-addf 10791  ax-mulf 10792

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-tpos 7957  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-sup 9047  df-inf 9048  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xneg 12687  df-xadd 12688  df-xmul 12689  df-ioo 12922  df-ico 12924  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-seq 13558  df-exp 13619  df-hash 13880  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-clim 15032  df-sum 15233  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-starv 16782  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-unif 16790  df-hom 16791  df-cco 16792  df-rest 16899  df-topn 16900  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-topgen 16920  df-prds 16924  df-pws 16926  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-mhm 18190  df-submnd 18191  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-subg 18512  df-ghm 18592  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-abl 19145  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-cring 19537  df-oppr 19613  df-dvdsr 19631  df-unit 19632  df-invr 19662  df-dvr 19673  df-rnghom 19707  df-drng 19741  df-field 19742  df-subrg 19770  df-abv 19825  df-staf 19853  df-srng 19854  df-lmod 19873  df-lss 19941  df-lmhm 20031  df-lvec 20112  df-sra 20181  df-rgmod 20182  df-psmet 20327  df-xmet 20328  df-met 20329  df-bl 20330  df-mopn 20331  df-cnfld 20336  df-refld 20539  df-phl 20560  df-dsmm 20666  df-frlm 20681  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-cld 21888  df-ntr 21889  df-cls 21890  df-xms 23190  df-ms 23191  df-nm 23452  df-ngp 23453  df-tng 23454  df-nrg 23455  df-nlm 23456  df-clm 23932  df-cph 24037  df-tcph 24038  df-rrx 24254

This theorem is referenced by: (None)