Theorem qndenserrn 46727

Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
qndenserrn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
qndenserrn	⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn

Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qndenserrn.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		qndenserrn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
3	2	rrxtop 46717	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
5		reex 11129	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
6		qssre 12909	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
7		mapss 8837	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
8	5, 6, 7	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
12	1, 10, 11	rrxbasefi 25377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
13	12	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14		rrxtps 46714	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
16	11, 15	tpsuni 22901	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
17	1, 14, 16	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
18	2	unieqi 4862	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
19	18	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = ∪ 𝐽)
21	13, 17, 20	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = ∪ 𝐽)
22	9, 21	sseqtrd 3958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
23		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
24	23	clsss3 23024	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
25	4, 22, 24	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ ∪ 𝐽)
26	21	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = (ℝ ↑m 𝐼))
27	25, 26	sseqtrd 3958	. 2 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
28	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ 𝐽)
30	29, 2	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
31	30	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32		ne0i 4281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑣 → 𝑣 ≠ ∅)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
34	28, 15, 31, 33	qndenserrnopn 46726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣)
35		df-rex 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
36	34, 35	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
37		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ 𝑣)
38		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
39	37, 38	elind 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
41	40	eximdv 1919	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
42	36, 41	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
43		n0 4293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
46	45	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
47	46	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
48	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
49	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽)
50		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
51	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝ ↑m 𝐼) = ∪ 𝐽)
52	50, 51	eleqtrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
53	23	elcls 23038	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
54	48, 49, 52, 53	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
55	47, 54	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)))
56	27, 55	eqelssd 3943	1 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ cuni 4850  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℝcr 11037  ℚcq 12898  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17384  Topctop 22858  TopSpctps 22897  clsccl 22983  ℝ^crrx 25350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-field 20709  df-abv 20786  df-staf 20816  df-srng 20817  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lmhm 21017  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-refld 21585  df-phl 21606  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-xms 24285  df-ms 24286  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-tng 24549  df-nrg 24550  df-nlm 24551  df-clm 25030  df-cph 25135  df-tcph 25136  df-rrx 25352

This theorem is referenced by: (None)