Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrn 45592
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrn.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
Assertion
Ref Expression
qndenserrn (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn
Dummy variables 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrn.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
32rrxtop 45582 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐽 ∈ Top)
41, 3syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
5 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
6 qssre 12947 . . . . . . 7 β„š βŠ† ℝ
7 mapss 8885 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ V ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
85, 6, 7mp2an 689 . . . . . 6 (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼)
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
121, 10, 11rrxbasefi 25293 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1312eqcomd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
14 rrxtps 45579 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝ^β€˜πΌ) ∈ TopSp)
15 eqid 2726 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
1611, 15tpsuni 22793 . . . . . . 7 ((ℝ^β€˜πΌ) ∈ TopSp β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
171, 14, 163syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
182unieqi 4914 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
1918eqcomi 2735 . . . . . . 7 βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = βˆͺ 𝐽
2019a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = βˆͺ 𝐽)
2113, 17, 203eqtrd 2770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = βˆͺ 𝐽)
229, 21sseqtrd 4017 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† βˆͺ 𝐽)
23 eqid 2726 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2423clsss3 22918 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
254, 22, 24syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
2621eqcomd 2732 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 = (ℝ ↑m 𝐼))
2725, 26sseqtrd 4017 . 2 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
281ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
3029, 2eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ 𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
3130ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 ∈ (TopOpenβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
32 ne0i 4329 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ 𝑣 β‰  βˆ…)
3332adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ 𝑣 β‰  βˆ…)
3428, 15, 31, 33qndenserrnopn 45591 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣)
35 df-rex 3065 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
3634, 35sylib 217 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) β†’ 𝑦 ∈ 𝑣)
38 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) β†’ 𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼))
3937, 38elind 4189 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) β†’ 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ ((𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) β†’ 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼))))
4140eximdv 1912 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)))
43 n0 4341 . . . . . . 7 ((𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)))
4442, 43sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝑣) β†’ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)) β‰  βˆ…)
4544ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)) β‰  βˆ…))
4645adantlr 712 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)) β‰  βˆ…))
4746ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)) β‰  βˆ…))
484adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4922adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† βˆͺ 𝐽)
50 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5121adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = βˆͺ 𝐽)
5250, 51eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽)
5323elcls 22932 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)) β‰  βˆ…)))
5448, 49, 52, 53syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑣 β†’ (𝑣 ∩ (β„š ↑m 𝐼)) β‰  βˆ…)))
5547, 54mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)))
5627, 55eqelssd 3998 1 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(β„š ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  β„šcq 12936  Basecbs 17153  TopOpenctopn 17376  Topctop 22750  TopSpctps 22789  clsccl 22877  β„^crrx 25266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-abv 20660  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-phl 21519  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-tng 24448  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-clm 24945  df-cph 25051  df-tcph 25052  df-rrx 25268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator