Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrn 46316
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrn.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrn.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
qndenserrn (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))

Proof of Theorem qndenserrn
Dummy variables 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrn.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 qndenserrn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
32rrxtop 46306 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Top)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5 reex 11089 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
6 qssre 12849 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℝ
7 mapss 8808 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
85, 6, 7mp2an 692 . . . . . 6 (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
10 eqid 2730 . . . . . . . 8 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
11 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
121, 10, 11rrxbasefi 25330 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
1312eqcomd 2736 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
14 rrxtps 46303 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp)
15 eqid 2730 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1611, 15tpsuni 22844 . . . . . . 7 ((ℝ^‘𝐼) ∈ TopSp → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
171, 14, 163syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
182unieqi 4869 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼))
1918eqcomi 2739 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = 𝐽)
2113, 17, 203eqtrd 2769 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝐼) = 𝐽)
229, 21sseqtrd 3969 . . . 4 (𝜑 → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽)
23 eqid 2730 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2423clsss3 22967 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ 𝐽)
254, 22, 24syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ 𝐽)
2621eqcomd 2736 . . 3 (𝜑 𝐽 = (ℝ ↑m 𝐼))
2725, 26sseqtrd 3969 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
281ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐼 ∈ Fin)
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣𝐽𝑣𝐽)
3029, 2eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐽𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
3130ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)))
32 ne0i 4289 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑣𝑣 ≠ ∅)
3332adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣 ≠ ∅)
3428, 15, 31, 33qndenserrnopn 46315 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑣)
35 df-rex 3055 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦𝑣 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
3634, 35sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦𝑣)
38 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
3937, 38elind 4148 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ((𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
4140eximdv 1918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼))))
4236, 41mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
43 n0 4301 . . . . . . 7 ((𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)))
4442, 43sylibr 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)
4544ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
4645adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
4746ralrimiva 3122 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅))
484adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐽 ∈ Top)
4922adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽)
50 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5121adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (ℝ ↑m 𝐼) = 𝐽)
5250, 51eleqtrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 𝐽)
5323elcls 22981 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ 𝐽𝑥 𝐽) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
5448, 49, 52, 53syl3anc 1373 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) ↔ ∀𝑣𝐽 (𝑥𝑣 → (𝑣 ∩ (ℚ ↑m 𝐼)) ≠ ∅)))
5547, 54mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ↑m 𝐼)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)))
5627, 55eqelssd 3954 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘(ℚ ↑m 𝐼)) = (ℝ ↑m 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1541  wex 1780  wcel 2110  wne 2926  wral 3045  wrex 3054  Vcvv 3434  cin 3899  wss 3900  c0 4281   cuni 4857  cfv 6477  (class class class)co 7341  m cmap 8745  Fincfn 8864  cr 10997  cq 12838  Basecbs 17112  TopOpenctopn 17317  Topctop 22801  TopSpctps 22840  clsccl 22926  ℝ^crrx 25303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076  ax-addf 11077  ax-mulf 11078
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-ico 13243  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-sum 15586  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-rhm 20383  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-drng 20639  df-field 20640  df-abv 20717  df-staf 20747  df-srng 20748  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lmhm 20949  df-lvec 21030  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-cnfld 21285  df-refld 21535  df-phl 21556  df-dsmm 21662  df-frlm 21677  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-ntr 22928  df-cls 22929  df-xms 24228  df-ms 24229  df-nm 24490  df-ngp 24491  df-tng 24492  df-nrg 24493  df-nlm 24494  df-clm 24983  df-cph 25088  df-tcph 25089  df-rrx 25305
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator