Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcocn 33608
Description: Lemma for esummulc2 33610 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcocn.j 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
esumcocn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = 0)
esumcocn.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
esumcocn (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,𝑦,π‘˜,𝐢   π‘˜,𝑉   πœ‘,π‘₯,𝑦,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐽(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 nfcv 2897 . . 3 β„²π‘˜π΄
3 esumcocn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 esumcocn.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5 xrge0tps 33452 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6 xrge0base 32689 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
7 esumcocn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
8 xrge0topn 33453 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
97, 8eqtr4i 2757 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
106, 9tpsuni 22793 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp β†’ (0[,]+∞) = βˆͺ 𝐽)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (0[,]+∞) = βˆͺ 𝐽
1211, 11cnf 23105 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
134, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
1413adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
15 esumcocn.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
1614, 15ffvelcdmd 7081 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΆβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0cmn 21302 . . . . . 6 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1817a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
195a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20 cmnmnd 19717 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
2117, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd
2221a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23 esumcocn.f . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
24233expib 1119 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦))))
2524ralrimivv 3192 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
26 esumcocn.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = 0)
27 xrge0plusg 32691 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
28 xrge00 32690 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
296, 6, 27, 27, 28, 28ismhm 18715 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)) ∧ (πΆβ€˜0) = 0)))
3029biimpri 227 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)) ∧ (πΆβ€˜0) = 0)) β†’ 𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))
3122, 22, 13, 25, 26, 30syl23anc 1374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))
32 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3332, 15fmpt3d 7111 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,]+∞))
341, 2, 3, 15esumel 33575 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
356, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34tsmsmhm 24005 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))))
3613, 15cofmpt 7126 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅)))
3736oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅))))
3835, 37eleqtrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅))))
391, 2, 3, 16, 38esumid 33572 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅) = (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡))
4039eqcomd 2732 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  [,]cicc 13333   β†Ύs cress 17182   β†Ύt crest 17375  TopOpenctopn 17376  ordTopcordt 17454  β„*𝑠cxrs 17455  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  CMndccmn 19700  TopSpctps 22789   Cn ccn 23083   tsums ctsu 23985  Ξ£*cesum 33555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-ntr 22879  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tsms 23986  df-esum 33556
This theorem is referenced by:  esummulc1  33609
  Copyright terms: Public domain W3C validator