Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcocn 32679
Description: Lemma for esummulc2 32681 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcocn.j 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a (𝜑𝐴𝑉)
esumcocn.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0 (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
Assertion
Ref Expression
esumcocn (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . 3 𝑘𝜑
2 nfcv 2907 . . 3 𝑘𝐴
3 esumcocn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
4 esumcocn.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5 xrge0tps 32523 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6 xrge0base 31876 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 esumcocn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8 xrge0topn 32524 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
97, 8eqtr4i 2767 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
106, 9tpsuni 22285 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = 𝐽)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (0[,]+∞) = 𝐽
1211, 11cnf 22597 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
1413adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15 esumcocn.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
1614, 15ffvelcdmd 7036 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0cmn 20839 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
195a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20 cmnmnd 19579 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
2117, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23 esumcocn.f . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
24233expib 1122 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦))))
2524ralrimivv 3195 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)))
26 esumcocn.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27 xrge0plusg 31878 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
28 xrge00 31877 . . . . . . . 8 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
296, 6, 27, 27, 28, 28ismhm 18603 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
3029biimpri 227 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶𝑥) +𝑒 (𝐶𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
3122, 22, 13, 25, 26, 30syl23anc 1377 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
32 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵))
3332, 15fmpt3d 7064 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
341, 2, 3, 15esumel 32646 . . . . 5 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴𝐵)))
356, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34tsmsmhm 23497 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵))))
3613, 15cofmpt 7078 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵)) = (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵)))
3736oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘𝐴𝐵))) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵))))
3835, 37eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘𝐴 ↦ (𝐶𝐵))))
391, 2, 3, 16, 38esumid 32643 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵))
4039eqcomd 2742 1 (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   cuni 4865  cmpt 5188  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  cle 11190   +𝑒 cxad 13031  [,]cicc 13267  s cress 17112  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  ordTopcordt 17381  *𝑠cxrs 17382  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  CMndccmn 19562  TopSpctps 22281   Cn ccn 22575   tsums ctsu 23477  Σ*cesum 32626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tsms 23478  df-esum 32627
This theorem is referenced by:  esummulc1  32680
  Copyright terms: Public domain W3C validator