Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcocn 32719
Description: Lemma for esummulc2 32721 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcocn.j 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
esumcocn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = 0)
esumcocn.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
esumcocn (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,𝑦,π‘˜,𝐢   π‘˜,𝑉   πœ‘,π‘₯,𝑦,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐽(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 nfcv 2908 . . 3 β„²π‘˜π΄
3 esumcocn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 esumcocn.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5 xrge0tps 32563 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6 xrge0base 31918 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
7 esumcocn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
8 xrge0topn 32564 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
97, 8eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
106, 9tpsuni 22301 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp β†’ (0[,]+∞) = βˆͺ 𝐽)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (0[,]+∞) = βˆͺ 𝐽
1211, 11cnf 22613 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
134, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
1413adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
15 esumcocn.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
1614, 15ffvelcdmd 7041 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΆβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0cmn 20855 . . . . . 6 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1817a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
195a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20 cmnmnd 19586 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
2117, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd
2221a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23 esumcocn.f . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
24233expib 1123 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦))))
2524ralrimivv 3196 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
26 esumcocn.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = 0)
27 xrge0plusg 31920 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
28 xrge00 31919 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
296, 6, 27, 27, 28, 28ismhm 18610 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)) ∧ (πΆβ€˜0) = 0)))
3029biimpri 227 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)) ∧ (πΆβ€˜0) = 0)) β†’ 𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))
3122, 22, 13, 25, 26, 30syl23anc 1378 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))
32 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3332, 15fmpt3d 7069 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,]+∞))
341, 2, 3, 15esumel 32686 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
356, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34tsmsmhm 23513 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))))
3613, 15cofmpt 7083 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅)))
3736oveq2d 7378 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅))))
3835, 37eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅))))
391, 2, 3, 16, 38esumid 32683 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅) = (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡))
4039eqcomd 2743 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆͺ cuni 4870   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274   β†Ύs cress 17119   β†Ύt crest 17309  TopOpenctopn 17310  ordTopcordt 17388  β„*𝑠cxrs 17389  Mndcmnd 18563   MndHom cmhm 18606  CMndccmn 19569  TopSpctps 22297   Cn ccn 22591   tsums ctsu 23493  Ξ£*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-ntr 22387  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  esummulc1  32720
  Copyright terms: Public domain W3C validator