Theorem esumcocn 30983

Description: Lemma for esummulc2 30985 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcocn.j	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
esumcocn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1873	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumcocn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumcocn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5		xrge0tps 30829	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6		xrge0base 30404	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		esumcocn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8		xrge0topn 30830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	7, 8	eqtr4i 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	6, 9	tpsuni 21251	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = ∪ 𝐽)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) = ∪ 𝐽
12	11, 11	cnf 21561	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
14	13	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15		esumcocn.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	14, 15	ffvelrnd 6679	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0cmn 20292	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
19	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20		cmnmnd 18684	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23		esumcocn.f	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
24	23	3expib 1102	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦))))
25	24	ralrimivv 3140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
26		esumcocn.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27		xrge0plusg 30406	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
28		xrge00 30405	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
29	6, 6, 27, 27, 28, 28	ismhm 17808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
30	29	biimpri 220	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
31	22, 22, 13, 25, 26, 30	syl23anc 1357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
32		eqidd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32, 15	fmpt3d 6705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
34	1, 2, 3, 15	esumel 30950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
35	6, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34	tsmsmhm 22460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
36	13, 15	cofmpt 6719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵)))
37	36	oveq2d 6994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
38	35, 37	eleqtrd 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
39	1, 2, 3, 16, 38	esumid 30947	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
40	39	eqcomd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  ∪ cuni 4713   ↦ cmpt 5009   ∘ ccom 5412  ⟶wf 6186  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  0cc0 10337  +∞cpnf 10473   ≤ cle 10477   +_𝑒 cxad 12325  [,]cicc 12560   ↾_s cress 16343   ↾_t crest 16553  TopOpenctopn 16554  ordTopcordt 16631  ℝ^*_𝑠cxrs 16632  Mndcmnd 17765   MndHom cmhm 17804  CMndccmn 18669  TopSpctps 21247   Cn ccn 21539   tsums ctsu 22440  Σ^*cesum 30930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-xadd 12328  df-ioo 12561  df-ioc 12562  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-hash 13509  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-ordt 16633  df-xrs 16634  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-ps 17671  df-tsr 17672  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-ntr 21335  df-nei 21413  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-haus 21630  df-fil 22161  df-fm 22253  df-flim 22254  df-flf 22255  df-tsms 22441  df-esum 30931

This theorem is referenced by:  esummulc1  30984