Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcocn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcocn 33732
Description: Lemma for esummulc2 33734 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcocn.j 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
esumcocn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = 0)
esumcocn.f ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
esumcocn (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,𝑦,π‘˜,𝐢   π‘˜,𝑉   πœ‘,π‘₯,𝑦,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐽(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 nfcv 2899 . . 3 β„²π‘˜π΄
3 esumcocn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
4 esumcocn.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5 xrge0tps 33576 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6 xrge0base 32762 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
7 esumcocn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
8 xrge0topn 33577 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
97, 8eqtr4i 2759 . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
106, 9tpsuni 22858 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp β†’ (0[,]+∞) = βˆͺ 𝐽)
115, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (0[,]+∞) = βˆͺ 𝐽
1211, 11cnf 23170 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
134, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
1413adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
15 esumcocn.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
1614, 15ffvelcdmd 7100 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΆβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0cmn 21348 . . . . . 6 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
1817a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
195a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20 cmnmnd 19759 . . . . . . . 8 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
2117, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd
2221a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23 esumcocn.f . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
24233expib 1119 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦))))
2524ralrimivv 3196 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)))
26 esumcocn.0 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) = 0)
27 xrge0plusg 32764 . . . . . . . 8 +𝑒 = (+gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
28 xrge00 32763 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
296, 6, 27, 27, 28, 28ismhm 18749 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)) ∧ (πΆβ€˜0) = 0)))
3029biimpri 227 . . . . . 6 ((((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐢:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(πΆβ€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((πΆβ€˜π‘₯) +𝑒 (πΆβ€˜π‘¦)) ∧ (πΆβ€˜0) = 0)) β†’ 𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))
3122, 22, 13, 25, 26, 30syl23anc 1374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))))
32 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))
3332, 15fmpt3d 7131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):𝐴⟢(0[,]+∞))
341, 2, 3, 15esumel 33699 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
356, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34tsmsmhm 24070 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))))
3613, 15cofmpt 7147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅)))
3736oveq2d 7442 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (𝐢 ∘ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡))) = ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅))))
3835, 37eleqtrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) ∈ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) tsums (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΆβ€˜π΅))))
391, 2, 3, 16, 38esumid 33696 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅) = (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡))
4039eqcomd 2734 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(πΆβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆͺ cuni 4912   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  +∞cpnf 11283   ≀ cle 11287   +𝑒 cxad 13130  [,]cicc 13367   β†Ύs cress 17216   β†Ύt crest 17409  TopOpenctopn 17410  ordTopcordt 17488  β„*𝑠cxrs 17489  Mndcmnd 18701   MndHom cmhm 18745  CMndccmn 19742  TopSpctps 22854   Cn ccn 23148   tsums ctsu 24050  Ξ£*cesum 33679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-ordt 17490  df-xrs 17491  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-ntr 22944  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tsms 24051  df-esum 33680
This theorem is referenced by:  esummulc1  33733
  Copyright terms: Public domain W3C validator