Theorem esumcocn 34082

Description: Lemma for esummulc2 34084 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcocn.j	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
esumcocn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2904	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumcocn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumcocn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5		xrge0tps 33942	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6		xrge0base 33017	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		esumcocn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8		xrge0topn 33943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	7, 8	eqtr4i 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	6, 9	tpsuni 22943	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = ∪ 𝐽)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) = ∪ 𝐽
12	11, 11	cnf 23255	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15		esumcocn.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	14, 15	ffvelcdmd 7104	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0cmn 21427	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
19	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20		cmnmnd 19816	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23		esumcocn.f	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
24	23	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦))))
25	24	ralrimivv 3199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
26		esumcocn.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27		xrge0plusg 33019	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
28		xrge00 33018	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
29	6, 6, 27, 27, 28, 28	ismhm 18799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
30	29	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
31	22, 22, 13, 25, 26, 30	syl23anc 1378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
32		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32, 15	fmpt3d 7135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
34	1, 2, 3, 15	esumel 34049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
35	6, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34	tsmsmhm 24155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
36	13, 15	cofmpt 7151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵)))
37	36	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
38	35, 37	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
39	1, 2, 3, 16, 38	esumid 34046	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
40	39	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∪ cuni 4906   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  +∞cpnf 11293   ≤ cle 11297   +_𝑒 cxad 13153  [,]cicc 13391   ↾_s cress 17275   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ordTopcordt 17545  ℝ^*_𝑠cxrs 17546  Mndcmnd 18748   MndHom cmhm 18795  CMndccmn 19799  TopSpctps 22939   Cn ccn 23233   tsums ctsu 24135  Σ^*cesum 34029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-ntr 23029  df-nei 23107  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-tsms 24136  df-esum 34030

This theorem is referenced by:  esummulc1  34083