Theorem esumcocn 30483

Description: Lemma for esummulc2 30485 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcocn.j	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
esumcocn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1995	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumcocn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumcocn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5		xrge0tps 30329	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6		xrge0base 30026	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		esumcocn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8		xrge0topn 30330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	7, 8	eqtr4i 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	6, 9	tpsuni 20962	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = ∪ 𝐽)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) = ∪ 𝐽
12	11, 11	cnf 21272	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
14	13	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15		esumcocn.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	14, 15	ffvelrnd 6504	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0cmn 20004	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
19	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20		cmnmnd 18416	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23		esumcocn.f	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
24	23	3expib 1116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦))))
25	24	ralrimivv 3119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
26		esumcocn.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27		xrge0plusg 30028	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
28		xrge00 30027	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
29	6, 6, 27, 27, 28, 28	ismhm 17546	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
30	29	biimpri 218	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
31	22, 22, 13, 25, 26, 30	syl23anc 1483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
32		eqidd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32, 15	fmpt3d 6529	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
34	1, 2, 3, 15	esumel 30450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
35	6, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34	tsmsmhm 22170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
36	13, 15	cofmpt 6543	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵)))
37	36	oveq2d 6810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
38	35, 37	eleqtrd 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
39	1, 2, 3, 16, 38	esumid 30447	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
40	39	eqcomd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∪ cuni 4575   ↦ cmpt 4864   ∘ ccom 5254  ⟶wf 6028  ‘cfv 6032  (class class class)co 6794  0cc0 10139  +∞cpnf 10274   ≤ cle 10278   +_𝑒 cxad 12150  [,]cicc 12384   ↾_s cress 16066   ↾_t crest 16290  TopOpenctopn 16291  ordTopcordt 16368  ℝ^*_𝑠cxrs 16369  Mndcmnd 17503   MndHom cmhm 17542  CMndccmn 18401  TopSpctps 20958   Cn ccn 21250   tsums ctsu 22150  Σ^*cesum 30430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-xadd 12153  df-ioo 12385  df-ioc 12386  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-hash 13323  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-ordt 16370  df-xrs 16371  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-ps 17409  df-tsr 17410  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-mhm 17544  df-submnd 17545  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-ntr 21046  df-nei 21124  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-tsms 22151  df-esum 30431

This theorem is referenced by:  esummulc1  30484