Theorem esumcocn 34274

Description: Lemma for esummulc2 34276 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcocn.j	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
esumcocn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumcocn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumcocn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5		xrge0tps 34136	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6		xrge0base 17566	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		esumcocn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8		xrge0topn 34137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	7, 8	eqtr4i 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	6, 9	tpsuni 22922	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = ∪ 𝐽)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) = ∪ 𝐽
12	11, 11	cnf 23232	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
14	13	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15		esumcocn.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	14, 15	ffvelcdmd 7029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0cmn 21422	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
19	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20		cmnmnd 19766	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23		esumcocn.f	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
24	23	3expib 1129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦))))
25	24	ralrimivv 3182	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
26		esumcocn.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27		xrge0plusg 21417	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
28		xrge00 33095	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
29	6, 6, 27, 27, 28, 28	ismhm 18748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
30	29	biimpri 230	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
31	22, 22, 13, 25, 26, 30	syl23anc 1386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
32		eqidd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32, 15	fmpt3d 7060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
34	1, 2, 3, 15	esumel 34241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
35	6, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34	tsmsmhm 24132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
36	13, 15	cofmpt 7077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵)))
37	36	oveq2d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
38	35, 37	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
39	1, 2, 3, 16, 38	esumid 34238	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
40	39	eqcomd 2747	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∪ cuni 4840   ↦ cmpt 5155   ∘ ccom 5624  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11034  +∞cpnf 11172   ≤ cle 11176   +_𝑒 cxad 13056  [,]cicc 13296   ↾_s cress 17195   ↾_t crest 17378  TopOpenctopn 17379  ordTopcordt 17458  ℝ^*_𝑠cxrs 17459  Mndcmnd 18697   MndHom cmhm 18744  CMndccmn 19749  TopSpctps 22918   Cn ccn 23210   tsums ctsu 24112  Σ^*cesum 34221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-xadd 13059  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-ordt 17460  df-xrs 17461  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-ntr 23006  df-nei 23084  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-haus 23301  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-tsms 24113  df-esum 34222

This theorem is referenced by:  esummulc1  34275