Theorem esumcocn 34044

Description: Lemma for esummulc2 34046 and co. Composing with a continuous function preserves extended sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcocn.j	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
esumcocn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcocn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcocn.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
esumcocn.0	⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
esumcocn.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
esumcocn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑦,𝑘,𝐶   𝑘,𝑉   𝜑,𝑥,𝑦,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem esumcocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2908	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		esumcocn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		esumcocn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5		xrge0tps 33888	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
6		xrge0base 32997	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		esumcocn.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
8		xrge0topn 33889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
9	7, 8	eqtr4i 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
10	6, 9	tpsuni 22963	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp → (0[,]+∞) = ∪ 𝐽)
11	5, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) = ∪ 𝐽
12	11, 11	cnf 23275	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
15		esumcocn.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
16	14, 15	ffvelcdmd 7119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0cmn 21449	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
19	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
20		cmnmnd 19839	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
21	17, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
23		esumcocn.f	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
24	23	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦))))
25	24	ralrimivv 3206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)))
26		esumcocn.0	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = 0)
27		xrge0plusg 32999	. . . . . . . 8 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
28		xrge00 32998	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
29	6, 6, 27, 27, 28, 28	ismhm 18820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)))
30	29	biimpri 228	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd) ∧ (𝐶:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝐶‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝐶‘𝑥) +𝑒 (𝐶‘𝑦)) ∧ (𝐶‘0) = 0)) → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
31	22, 22, 13, 25, 26, 30	syl23anc 1377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
32		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
33	32, 15	fmpt3d 7150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
34	1, 2, 3, 15	esumel 34011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
35	6, 9, 9, 18, 19, 18, 19, 31, 4, 3, 33, 34	tsmsmhm 24175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
36	13, 15	cofmpt 7166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵)))
37	36	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝐶 ∘ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
38	35, 37	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ∈ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶‘𝐵))))
39	1, 2, 3, 16, 38	esumid 34008	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵) = (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵))
40	39	eqcomd 2746	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐶‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∪ cuni 4931   ↦ cmpt 5249   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  +∞cpnf 11321   ≤ cle 11325   +_𝑒 cxad 13173  [,]cicc 13410   ↾_s cress 17287   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ordTopcordt 17559  ℝ^*_𝑠cxrs 17560  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816  CMndccmn 19822  TopSpctps 22959   Cn ccn 23253   tsums ctsu 24155  Σ^*cesum 33991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tsms 24156  df-esum 33992

This theorem is referenced by:  esummulc1  34045