Theorem haustsms 24160

Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
haustsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsms	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem haustsms

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustsms.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
5		tsmscl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	2, 3, 4, 5	tsmsfbas 24152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7		fgcl 23902	. . . 4 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
9		tsmscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		tsmscl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
11		tsmscl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12	9, 2, 10, 5, 11	tsmslem1 24153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
13		tsmscl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
14		haustsms.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
15	9, 14	tpsuni 22958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
18	12, 17	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ∪ 𝐽)
19	18	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶∪ 𝐽)
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
21	20	hausflf 24021	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶∪ 𝐽) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
22	1, 8, 19, 21	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
23	9, 14, 2, 4, 10, 5, 11	tsmsval 24155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
24	23	eleq2d 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))))
25	24	mobidv 2547	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))))
26	22, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2536  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  TopOpenctopn 17468   Σ_g cgsu 17487  CMndccmn 19813  fBascfbas 21370  filGencfg 21371  TopSpctps 22954  Hauscha 23332  Filcfil 23869   fLimf cflf 23959   tsums ctsu 24150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-nei 23122  df-haus 23339  df-fil 23870  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151

This theorem is referenced by:  haustsms2  24161  taylf  26417