MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haustsms 23995
Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmscl.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
haustsms.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
haustsms.h (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
Assertion
Ref Expression
haustsms (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem haustsms
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustsms.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
2 eqid 2726 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
3 eqid 2726 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
4 eqid 2726 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
5 tsmscl.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
62, 3, 4, 5tsmsfbas 23987 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7 fgcl 23737 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
9 tsmscl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
10 tsmscl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
11 tsmscl.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
129, 2, 10, 5, 11tsmslem1 23988 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
13 tsmscl.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
14 haustsms.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
159, 14tpsuni 22793 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1716adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1812, 17eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐽)
1918fmpttd 7110 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢βˆͺ 𝐽)
20 eqid 2726 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2120hausflf 23856 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
221, 8, 19, 21syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
239, 14, 2, 4, 10, 5, 11tsmsval 23990 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
2423eleq2d 2813 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
2524mobidv 2537 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
2622, 25mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ*wmo 2526  {crab 3426   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153  TopOpenctopn 17376   Ξ£g cgsu 17395  CMndccmn 19700  fBascfbas 21228  filGencfg 21229  TopSpctps 22789  Hauscha 23167  Filcfil 23704   fLimf cflf 23794   tsums ctsu 23985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-nei 22957  df-haus 23174  df-fil 23705  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tsms 23986
This theorem is referenced by:  haustsms2  23996  taylf  26250
  Copyright terms: Public domain W3C validator