MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haustsms 24068
Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmscl.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
haustsms.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
haustsms.h (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
Assertion
Ref Expression
haustsms (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem haustsms
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustsms.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
2 eqid 2728 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
3 eqid 2728 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
4 eqid 2728 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})
5 tsmscl.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
62, 3, 4, 5tsmsfbas 24060 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7 fgcl 23810 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧}) ∈ (fBasβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
9 tsmscl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
10 tsmscl.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
11 tsmscl.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
129, 2, 10, 5, 11tsmslem1 24061 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ 𝐡)
13 tsmscl.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
14 haustsms.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
159, 14tpsuni 22866 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1716adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ 𝐡 = βˆͺ 𝐽)
1812, 17eleqtrd 2831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)) ∈ βˆͺ 𝐽)
1918fmpttd 7130 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢βˆͺ 𝐽)
20 eqid 2728 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2120hausflf 23929 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})) ∈ (Filβ€˜(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟢βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
221, 8, 19, 21syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
239, 14, 2, 4, 10, 5, 11tsmsval 24063 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧)))))
2423eleq2d 2815 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
2524mobidv 2538 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 βŠ† 𝑧})))β€˜(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑧))))))
2622, 25mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ*wmo 2527  {crab 3430   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  Basecbs 17189  TopOpenctopn 17412   Ξ£g cgsu 17431  CMndccmn 19749  fBascfbas 21281  filGencfg 21282  TopSpctps 22862  Hauscha 23240  Filcfil 23777   fLimf cflf 23867   tsums ctsu 24058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-nei 23030  df-haus 23247  df-fil 23778  df-flim 23871  df-flf 23872  df-tsms 24059
This theorem is referenced by:  haustsms2  24069  taylf  26323
  Copyright terms: Public domain W3C validator