MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem haustsms 24145
Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmscl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
haustsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h (𝜑𝐽 ∈ Haus)
Assertion
Ref Expression
haustsms (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem haustsms
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustsms.h . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
2 eqid 2736 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
3 eqid 2736 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
4 eqid 2736 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
5 tsmscl.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
62, 3, 4, 5tsmsfbas 24137 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7 fgcl 23887 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
9 tsmscl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
10 tsmscl.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
11 tsmscl.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
129, 2, 10, 5, 11tsmslem1 24138 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
13 tsmscl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
14 haustsms.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
159, 14tpsuni 22943 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝐽)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 = 𝐽)
1812, 17eleqtrd 2842 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐽)
1918fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ 𝐽)
20 eqid 2736 . . . 4 𝐽 = 𝐽
2120hausflf 24006 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶ 𝐽) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
221, 8, 19, 21syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
239, 14, 2, 4, 10, 5, 11tsmsval 24140 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
2423eleq2d 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
2524mobidv 2548 . 2 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
2622, 25mpbird 257 1 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  ∃*wmo 2537  {crab 3435  cin 3949  wss 3950  𝒫 cpw 4599   cuni 4906  cmpt 5224  ran crn 5685  cres 5686  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  TopOpenctopn 17467   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19799  fBascfbas 21353  filGencfg 21354  TopSpctps 22939  Hauscha 23317  Filcfil 23854   fLimf cflf 23944   tsums ctsu 24135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-nei 23107  df-haus 23324  df-fil 23855  df-flim 23948  df-flf 23949  df-tsms 24136
This theorem is referenced by:  haustsms2  24146  taylf  26403
  Copyright terms: Public domain W3C validator