Theorem haustsms 24203

Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
haustsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
haustsms.h	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)

Assertion

Ref	Expression
haustsms	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem haustsms

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustsms.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
5		tsmscl.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	2, 3, 4, 5	tsmsfbas 24195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
7		fgcl 23945	. . . 4 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
9		tsmscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10		tsmscl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
11		tsmscl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12	9, 2, 10, 5, 11	tsmslem1 24196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
13		tsmscl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
14		haustsms.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
15	9, 14	tpsuni 23003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp → 𝐵 = ∪ 𝐽)
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
17	16	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
18	12, 17	eleqtrd 2865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ ∪ 𝐽)
19	18	fmpttd 7096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶∪ 𝐽)
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
21	20	hausflf 24064	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶∪ 𝐽) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
22	1, 8, 19, 21	syl3anc 1392	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
23	9, 14, 2, 4, 10, 5, 11	tsmsval 24198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
24	23	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))))
25	24	mobidv 2577	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))))))
26	22, 25	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565  {crab 3415   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5182  ran crn 5649   ↾ cres 5650  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  Basecbs 17255  TopOpenctopn 17460   Σ_g cgsu 17479  CMndccmn 19830  fBascfbas 21419  filGencfg 21420  TopSpctps 22999  Hauscha 23375  Filcfil 23912   fLimf cflf 24002   tsums ctsu 24193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9306  df-oi 9456  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-hash 14354  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-cntz 19367  df-cmn 19832  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-top 22961  df-topon 22978  df-topsp 23000  df-nei 23165  df-haus 23382  df-fil 23913  df-flim 24006  df-flf 24007  df-tsms 24194

This theorem is referenced by:  haustsms2  24204  taylf  26431