MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfilss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfilss 23913
Description: If 𝐴 is a member of the filter, then the filter truncated to 𝐴 is a subset of the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfilss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem trfilss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restval 17473 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) = ran (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)))
2 filin 23878 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝐴𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
323expa 1117 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) ∧ 𝐴𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
43an32s 652 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
54fmpttd 7135 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)):𝐹𝐹)
65frnd 6745 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ran (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
71, 6eqsstrd 4034 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  cin 3962  wss 3963  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Filcfil 23869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17469  df-fbas 21379  df-fil 23870
This theorem is referenced by:  fgtr  23914  flimrest  24007
  Copyright terms: Public domain W3C validator