Theorem trfilss 22494

Description: If 𝐴 is a member of the filter, then the filter truncated to 𝐴 is a subset of the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem trfilss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 16692	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
2		filin 22459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
3	2	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
4	3	an32s 651	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
5	4	fmpttd 6856	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)):𝐹⟶𝐹)
6	5	frnd 6494	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ran (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) ⊆ 𝐹)
7	1, 6	eqsstrd 3953	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↾_t crest 16686  Filcfil 22450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-rest 16688  df-fbas 20088  df-fil 22451

This theorem is referenced by:  fgtr  22495  flimrest  22588