Theorem trfilss 24263

Description: If 𝐴 is a member of the filter, then the filter truncated to 𝐴 is a subset of the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem trfilss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 17647	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
2		filin 24228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
3	2	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
4	3	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
5	4	fmpttd 7147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)):𝐹⟶𝐹)
6	5	frnd 6748	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ran (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) ⊆ 𝐹)
7	1, 6	eqsstrd 3947	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↾_t crest 17641  Filcfil 24219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-rest 17643  df-fbas 21726  df-fil 24220

This theorem is used by:  fgtr  24264  flimrest  24357