Theorem trfilss 24220

Description: If 𝐴 is a member of the filter, then the filter truncated to 𝐴 is a subset of the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trfilss	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem trfilss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restval 17609	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) = ran (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)))
2		filin 24185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
3	2	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
4	3	an32s 665	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝐴) ∈ 𝐹)
5	4	fmpttd 7123	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)):𝐹⟶𝐹)
6	5	frnd 6726	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ran (𝑥 ∈ 𝐹 ↦ (𝑥 ∩ 𝐴)) ⊆ 𝐹)
7	1, 6	eqsstrd 3946	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝐴) ⊆ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899   ∩ cin 4091   ↦ cmpt 5188  ran crn 5655  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↾_t crest 17603  Filcfil 24176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-rest 17605  df-fbas 21687  df-fil 24177

This theorem is used by:  fgtr  24221  flimrest  24314