Theorem eupth2lem3lem2 27650

Description: Lemma for eupth2lem3 27657. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem2	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eupth2lem3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		trlsegvdeg.vy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
3	1, 2	eleqtrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌))
4	3	elfvexd 6483	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
5		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		trlsegvdeg.vx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
11		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
12		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
14		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
15	5, 6, 7, 8, 1, 9, 10, 2, 11, 12, 13, 14	trlsegvdeglem7 27647	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)
16		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑌) = (Vtx‘𝑌)
17		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑌) = (iEdg‘𝑌)
18		eqid 2778	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝑌) = dom (iEdg‘𝑌)
19	16, 17, 18	vtxdgfisf 26841	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
20	4, 15, 19	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
21	20, 3	ffvelrnd 6626	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  dom cdm 5357   ↾ cres 5359   “ cima 5360  Fun wfun 6131  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  0cc0 10274  ℕ₀cn0 11647  ...cfz 12648  ..^cfzo 12789  ♯chash 13441  Vtxcvtx 26361  iEdgciedg 26362  VtxDegcvtxdg 26830  Trailsctrls 27058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-xadd 12263  df-hash 13442  df-vtxdg 26831

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3  27651