Theorem eupth2lem3lem2 29482

Description: Lemma for eupth2lem3 29489. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem2	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eupth2lem3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		trlsegvdeg.vy	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
3	1, 2	eleqtrrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌))
4	3	elfvexd 6931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
5		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		trlsegvdeg.vx	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
11		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
12		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
14		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
15	5, 6, 7, 8, 1, 9, 10, 2, 11, 12, 13, 14	trlsegvdeglem7 29479	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑌) = (Vtx‘𝑌)
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑌) = (iEdg‘𝑌)
18		eqid 2733	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝑌) = dom (iEdg‘𝑌)
19	16, 17, 18	vtxdgfisf 28733	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
20	4, 15, 19	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
21	20, 3	ffvelcdmd 7088	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   ↾ cres 5679   “ cima 5680  Fun wfun 6538  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  ℕ₀cn0 12472  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  VtxDegcvtxdg 28722  Trailsctrls 28947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-xadd 13093  df-hash 14291  df-vtxdg 28723

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3  29483