Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3lem2 28012
 Description: Lemma for eupth2lem3 28019. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u (𝜑𝑈𝑉)
trlsegvdeg.w (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3lem2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eupth2lem3lem2
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝑉)
2 trlsegvdeg.vy . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
31, 2eleqtrrd 2917 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (Vtx‘𝑌))
43elfvexd 6686 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
5 trlsegvdeg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6 trlsegvdeg.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7 trlsegvdeg.f . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐼)
8 trlsegvdeg.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9 trlsegvdeg.w . . . 4 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10 trlsegvdeg.vx . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
11 trlsegvdeg.vz . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
12 trlsegvdeg.ix . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13 trlsegvdeg.iy . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
14 trlsegvdeg.iz . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
155, 6, 7, 8, 1, 9, 10, 2, 11, 12, 13, 14trlsegvdeglem7 28009 . . 3 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin)
16 eqid 2822 . . . 4 (Vtx‘𝑌) = (Vtx‘𝑌)
17 eqid 2822 . . . 4 (iEdg‘𝑌) = (iEdg‘𝑌)
18 eqid 2822 . . . 4 dom (iEdg‘𝑌) = dom (iEdg‘𝑌)
1916, 17, 18vtxdgfisf 27264 . . 3 ((𝑌 ∈ V ∧ dom (iEdg‘𝑌) ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
204, 15, 19syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (VtxDeg‘𝑌):(Vtx‘𝑌)⟶ℕ0)
2120, 3ffvelrnd 6834 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑌)‘𝑈) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469  {csn 4539  ⟨cop 4545   class class class wbr 5042  dom cdm 5532   ↾ cres 5534   “ cima 5535  Fun wfun 6328  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  0cc0 10526  ℕ0cn0 11885  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  VtxDegcvtxdg 27253  Trailsctrls 27478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-hash 13687  df-vtxdg 27254 This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3  28013
 Copyright terms: Public domain W3C validator