MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.12lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tz9.12lem2 9828
Description: Lemma for tz9.12 9830. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
tz9.12lem.1 𝐴 ∈ V
tz9.12lem.2 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1𝑣)})
Assertion
Ref Expression
tz9.12lem2 suc (𝐹𝐴) ∈ On
Distinct variable group:   𝑧,𝑣,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑣)

Proof of Theorem tz9.12lem2
StepHypRef Expression
1 tz9.12lem.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 tz9.12lem.2 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1𝑣)})
31, 2tz9.12lem1 9827 . . 3 (𝐹𝐴) ⊆ On
42funmpt2 6605 . . . . 5 Fun 𝐹
51funimaex 6655 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ∈ V)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
76ssonunii 7801 . . 3 ((𝐹𝐴) ⊆ On → (𝐹𝐴) ∈ On)
83, 7ax-mp 5 . 2 (𝐹𝐴) ∈ On
98onsuci 7859 1 suc (𝐹𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   cuni 4907   cint 4946  cmpt 5225  cima 5688  Oncon0 6384  suc csuc 6386  Fun wfun 6555  cfv 6561  𝑅1cr1 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-fun 6563
This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9829  tz9.12  9830
  Copyright terms: Public domain W3C validator