Theorem tz9.12lem2 9785

Description: Lemma for tz9.12 9787. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
tz9.12lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem2	⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Distinct variable group:   𝑧,𝑣,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑣)

Proof of Theorem tz9.12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		tz9.12lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})
3	1, 2	tz9.12lem1 9784	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ On
4	2	funmpt2 6581	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
5	1	funimaex 6630	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ∈ V
7	6	ssonunii 7765	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ On → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On)
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On
9	8	onsuci 7824	1 ⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902  ∩ cint 4943   ↦ cmpt 5224   “ cima 5672  Oncon0 6358  suc csuc 6360  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-fun 6539

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9786  tz9.12  9787