Theorem tz9.12lem2 9546

Description: Lemma for tz9.12 9548. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
tz9.12lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem2	⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Distinct variable group:   𝑧,𝑣,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑣)

Proof of Theorem tz9.12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		tz9.12lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})
3	1, 2	tz9.12lem1 9545	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ On
4	2	funmpt2 6473	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
5	1	funimaex 6521	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ∈ V
7	6	ssonunii 7631	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ On → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On)
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On
9	8	onsuci 7685	1 ⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  ∩ cint 4879   ↦ cmpt 5157   “ cima 5592  Oncon0 6266  suc csuc 6268  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  𝑅₁cr1 9520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-fun 6435

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9547  tz9.12  9548