Theorem tz9.12lem2 9673

Description: Lemma for tz9.12 9675. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
tz9.12lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem2	⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Distinct variable group:   𝑧,𝑣,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑣)

Proof of Theorem tz9.12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		tz9.12lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})
3	1, 2	tz9.12lem1 9672	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ On
4	2	funmpt2 6516	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
5	1	funimaex 6565	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ∈ V
7	6	ssonunii 7709	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ On → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On)
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On
9	8	onsuci 7764	1 ⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  Vcvv 3434   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4857  ∩ cint 4895   ↦ cmpt 5170   “ cima 5617  Oncon0 6302  suc csuc 6304  Fun wfun 6471  ‘cfv 6477  𝑅₁cr1 9647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-fun 6479

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9674  tz9.12  9675