Theorem tz9.12lem2 9811

Description: Lemma for tz9.12 9813. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
tz9.12lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem2	⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Distinct variable group:   𝑧,𝑣,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑣)

Proof of Theorem tz9.12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		tz9.12lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})
3	1, 2	tz9.12lem1 9810	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ On
4	2	funmpt2 6587	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
5	1	funimaex 6636	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ∈ V
7	6	ssonunii 7781	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ On → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On)
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On
9	8	onsuci 7840	1 ⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   ⊆ wss 3939  ∪ cuni 4903  ∩ cint 4944   ↦ cmpt 5226   “ cima 5675  Oncon0 6364  suc csuc 6366  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  𝑅₁cr1 9785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-fun 6545

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9812  tz9.12  9813