MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.12lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tz9.12lem2 9811
Description: Lemma for tz9.12 9813. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
tz9.12lem.1 𝐴 ∈ V
tz9.12lem.2 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1𝑣)})
Assertion
Ref Expression
tz9.12lem2 suc (𝐹𝐴) ∈ On
Distinct variable group:   𝑧,𝑣,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑣)

Proof of Theorem tz9.12lem2
StepHypRef Expression
1 tz9.12lem.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 tz9.12lem.2 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1𝑣)})
31, 2tz9.12lem1 9810 . . 3 (𝐹𝐴) ⊆ On
42funmpt2 6587 . . . . 5 Fun 𝐹
51funimaex 6636 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹𝐴) ∈ V)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
76ssonunii 7781 . . 3 ((𝐹𝐴) ⊆ On → (𝐹𝐴) ∈ On)
83, 7ax-mp 5 . 2 (𝐹𝐴) ∈ On
98onsuci 7840 1 suc (𝐹𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  wss 3939   cuni 4903   cint 4944  cmpt 5226  cima 5675  Oncon0 6364  suc csuc 6366  Fun wfun 6537  cfv 6543  𝑅1cr1 9785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-fun 6545
This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9812  tz9.12  9813
  Copyright terms: Public domain W3C validator