Theorem tz9.12lem2 9717

Description: Lemma for tz9.12 9719. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
tz9.12lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem2	⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Distinct variable group:   𝑧,𝑣,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑣)

Proof of Theorem tz9.12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		tz9.12lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ ∩ {𝑣 ∈ On ∣ 𝑧 ∈ (𝑅1‘𝑣)})
3	1, 2	tz9.12lem1 9716	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ On
4	2	funmpt2 6539	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐹
5	1	funimaex 6588	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ∈ V
7	6	ssonunii 7737	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ On → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On)
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On
9	8	onsuci 7794	1 ⊢ suc ∪ (𝐹 “ 𝐴) ∈ On

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ∩ cint 4906   ↦ cmpt 5183   “ cima 5634  Oncon0 6320  suc csuc 6322  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  𝑅₁cr1 9691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-fun 6501

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  9718  tz9.12  9719