Theorem unibrsiga 34368

Description: The union of the Borel Algebra is the set of real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
unibrsiga	⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ

Proof of Theorem unibrsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 24720	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		unisg 34325	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ∪ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) = ∪ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))) = ∪ (topGen‘ran (,))
4		df-brsiga 34364	. . 3 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
5	4	unieqi 4877	. 2 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ∪ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
6		uniretop 24721	. 2 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2770	1 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4865  ran crn 5633  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  (,)cioo 13273  topGenctg 17369  Topctop 22852  sigaGencsigagen 34320  𝔅_ℝcbrsiga 34363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ioo 13277  df-topgen 17375  df-top 22853  df-bases 22905  df-siga 34291  df-sigagen 34321  df-brsiga 34364

This theorem is referenced by:  elmbfmvol2  34449  mbfmcnt  34450  br2base  34451  isrrvv  34625  orvcelval  34651  dstrvprob  34654