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Theorem issgon 33109
Description: Property of being a sigma-algebra with a given base set, noting that the base set of a sigma-algebra is actually its union set. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 23-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
issgon (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
Proof of Theorem issgon
Dummy variables π‘₯ π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6921 . . . 4 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† βˆͺ ran sigAlgebra
21sseli 3977 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 elex 3492 . . . 4 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑆 ∈ V)
4 issiga 33098 . . . . 5 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
5 elpwuni 5107 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ↔ βˆͺ 𝑆 = 𝑂))
65biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ 𝑆 = 𝑂)
7 ancom 461 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂))
8 eqcom 2739 . . . . . . 7 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 = 𝑂)
96, 7, 83imtr4i 291 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝑆) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
1093ad2antr1 1188 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
114, 10syl6bi 252 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
123, 11mpcom 38 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
132, 12jca 512 . 2 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
14 elex 3492 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ V)
15 isrnsiga 33099 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ↔ (𝑆 ∈ V ∧ βˆƒπ‘œ(𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
1615simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆƒπ‘œ(𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
17 elpwuni 5107 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘œ ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ↔ βˆͺ 𝑆 = π‘œ))
1817biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ) β†’ βˆͺ 𝑆 = π‘œ)
19 ancom 461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝑆) ↔ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ))
20 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 = π‘œ)
2118, 19, 203imtr4i 291 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝑆) β†’ π‘œ = βˆͺ 𝑆)
22213ad2antr1 1188 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ π‘œ = βˆͺ 𝑆)
23 pweq 4615 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ 𝒫 π‘œ = 𝒫 βˆͺ 𝑆)
2423sseq2d 4013 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ↔ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆))
25 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘œ ∈ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆))
26 difeq1 4114 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘œ βˆ– π‘₯) = (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯))
2726eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
2827ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
2925, 283anbi12d 1437 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) ↔ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3024, 29anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
3231ibi 266 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3332exlimiv 1933 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘œ(𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3416, 33syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3534simprd 496 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))
3614, 35jca 512 . . . 4 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 ∈ V ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
37 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑂 ∈ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆))
38 difeq1 4114 . . . . . . . . . 10 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) = (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯))
3938eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
4039ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
4137, 403anbi12d 1437 . . . . . . 7 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) ↔ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
4241biimprd 247 . . . . . 6 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
43 pwuni 4948 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆
44 pweq 4615 . . . . . . 7 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ 𝒫 𝑂 = 𝒫 βˆͺ 𝑆)
4543, 44sseqtrrid 4034 . . . . . 6 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂)
4642, 45jctild 526 . . . . 5 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
4746anim2d 612 . . . 4 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑆 ∈ V ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 ∈ V ∧ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))))
484biimpar 478 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))) β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
4936, 47, 48syl56 36 . . 3 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚)))
5049impcom 408 . 2 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
5113, 50impbii 208 1 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  Ο‰com 7851   β‰Ό cdom 8933  sigAlgebracsiga 33094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-siga 33095
This theorem is referenced by:  sgon  33110  unisg  33129  sxsigon  33178  sxuni  33179  1stmbfm  33247  2ndmbfm  33248  mbfmvolf  33253
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