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Theorem issgon 33121
Description: Property of being a sigma-algebra with a given base set, noting that the base set of a sigma-algebra is actually its union set. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 23-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
issgon (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
Proof of Theorem issgon
Dummy variables π‘₯ π‘œ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6925 . . . 4 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† βˆͺ ran sigAlgebra
21sseli 3979 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 elex 3493 . . . 4 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑆 ∈ V)
4 issiga 33110 . . . . 5 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
5 elpwuni 5109 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ↔ βˆͺ 𝑆 = 𝑂))
65biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ βˆͺ 𝑆 = 𝑂)
7 ancom 462 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝑆) ↔ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂))
8 eqcom 2740 . . . . . . 7 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 = 𝑂)
96, 7, 83imtr4i 292 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝑆) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
1093ad2antr1 1189 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
114, 10syl6bi 253 . . . 4 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
123, 11mpcom 38 . . 3 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ 𝑂 = βˆͺ 𝑆)
132, 12jca 513 . 2 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) β†’ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
14 elex 3493 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ V)
15 isrnsiga 33111 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ↔ (𝑆 ∈ V ∧ βˆƒπ‘œ(𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
1615simprbi 498 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆƒπ‘œ(𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
17 elpwuni 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘œ ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ↔ βˆͺ 𝑆 = π‘œ))
1817biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ) β†’ βˆͺ 𝑆 = π‘œ)
19 ancom 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝑆) ↔ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ))
20 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 = π‘œ)
2118, 19, 203imtr4i 292 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ π‘œ ∈ 𝑆) β†’ π‘œ = βˆͺ 𝑆)
22213ad2antr1 1189 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ π‘œ = βˆͺ 𝑆)
23 pweq 4617 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ 𝒫 π‘œ = 𝒫 βˆͺ 𝑆)
2423sseq2d 4015 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ↔ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆))
25 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘œ ∈ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆))
26 difeq1 4116 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘œ βˆ– π‘₯) = (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯))
2726eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
2827ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
2925, 283anbi12d 1438 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) ↔ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3024, 29anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) ↔ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
3231ibi 267 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3332exlimiv 1934 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘œ(𝑆 βŠ† 𝒫 π‘œ ∧ (π‘œ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘œ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3416, 33syl 17 . . . . . 6 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
3534simprd 497 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))
3614, 35jca 513 . . . 4 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ (𝑆 ∈ V ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
37 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑂 ∈ 𝑆 ↔ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆))
38 difeq1 4116 . . . . . . . . . 10 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) = (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯))
3938eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
4039ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆))
4137, 403anbi12d 1438 . . . . . . 7 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) ↔ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
4241biimprd 247 . . . . . 6 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))
43 pwuni 4950 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆
44 pweq 4617 . . . . . . 7 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ 𝒫 𝑂 = 𝒫 βˆͺ 𝑆)
4543, 44sseqtrrid 4036 . . . . . 6 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂)
4642, 45jctild 527 . . . . 5 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))))
4746anim2d 613 . . . 4 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ ((𝑆 ∈ V ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (βˆͺ 𝑆 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 ∈ V ∧ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆))))))
484biimpar 479 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑆 βŠ† 𝒫 𝑂 ∧ (𝑂 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆(π‘₯ β‰Ό Ο‰ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑆)))) β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
4936, 47, 48syl56 36 . . 3 (𝑂 = βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚)))
5049impcom 409 . 2 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
5113, 50impbii 208 1 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚) ↔ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑂 = βˆͺ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  sigAlgebracsiga 33106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-fv 6552  df-siga 33107
This theorem is referenced by:  sgon  33122  unisg  33141  sxsigon  33190  sxuni  33191  1stmbfm  33259  2ndmbfm  33260  mbfmvolf  33265
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