Theorem uzn0d 45812

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzn0d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzn0d.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzn0d	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzn0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzn0d.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	uzidd2 45803	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
4	3	ne0d 4296	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  ‘cfv 6502  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-pre-lttri 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-neg 11381  df-z 12503  df-uz 12766

This theorem is referenced by:  uzn0bi  45846  limsupvaluz2  46125  limsupgtlem  46164  smfsupxr  47203  smfinflem  47204  smflimsuplem3  47209  smflimsuplem4  47210  smfliminflem  47217  smfsupdmmbllem  47231  smfinfdmmbllem  47235