Theorem uzn0d 44942

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzn0d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzn0d.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzn0d	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzn0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzn0d.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	uzidd2 44933	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
4	3	ne0d 4335	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∅c0 4322  ‘cfv 6549  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-neg 11479  df-z 12592  df-uz 12856

This theorem is referenced by:  uzn0bi  44976  limsupvaluz2  45261  limsupgtlem  45300  smfsupxr  46339  smfinflem  46340  smflimsuplem3  46345  smflimsuplem4  46346  smfliminflem  46353  smfsupdmmbllem  46367  smfinfdmmbllem  46371