Theorem uzn0d 40395

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzn0d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzn0d.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzn0d	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzn0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzn0d.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	uzidd2 40386	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
4	3	ne0d 4122	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∅c0 4115  ‘cfv 6101  ℤcz 11666  ℤ_≥cuz 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931

This theorem is referenced by:  uzn0bi  40432  limsupvaluz2  40714  limsupgtlem  40753  smfsupxr  41768  smfinflem  41769  smflimsuplem3  41774  smflimsuplem4  41775  smfliminflem  41782