Theorem uzn0d 45375

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzn0d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzn0d.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzn0d	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzn0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzn0d.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	uzidd2 45366	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
4	3	ne0d 4348	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877

This theorem is referenced by:  uzn0bi  45409  limsupvaluz2  45694  limsupgtlem  45733  smfsupxr  46772  smfinflem  46773  smflimsuplem3  46778  smflimsuplem4  46779  smfliminflem  46786  smfsupdmmbllem  46800  smfinfdmmbllem  46804