Theorem uzn0d 45442

Description: The upper integers are all nonempty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzn0d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzn0d.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzn0d	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Proof of Theorem uzn0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzn0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzn0d.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	uzidd2 45433	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
4	3	ne0d 4290	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281  ‘cfv 6477  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-pre-lttri 11072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-neg 11339  df-z 12461  df-uz 12725

This theorem is referenced by:  uzn0bi  45476  limsupvaluz2  45755  limsupgtlem  45794  smfsupxr  46833  smfinflem  46834  smflimsuplem3  46839  smflimsuplem4  46840  smfliminflem  46847  smfsupdmmbllem  46861  smfinfdmmbllem  46865