Theorem elhf2g 36177

Description: Hereditarily finiteness via rank. Closed form of elhf2 36176. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elhf2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))

Proof of Theorem elhf2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2829	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ Hf ))
2		fveq2 6906	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝐴))
3	2	eleq1d 2826	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rank‘𝑥) ∈ ω ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
4		vex 3484	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elhf2 36176	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Hf ↔ (rank‘𝑥) ∈ ω)
6	1, 3, 5	vtoclbg 3557	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ωcom 7887  rankcrnk 9803   Hf chf 36173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-r1 9804  df-rank 9805  df-hf 36174

This theorem is referenced by:  hfun  36179  hfsn  36180  hfelhf  36182  hfuni  36185  hfpw  36186  hfninf  36187