Theorem elhf2g 36319

Description: Hereditarily finiteness via rank. Closed form of elhf2 36318. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elhf2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))

Proof of Theorem elhf2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ Hf ))
2		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝐴))
3	2	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rank‘𝑥) ∈ ω ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
4		vex 3442	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elhf2 36318	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Hf ↔ (rank‘𝑥) ∈ ω)
6	1, 3, 5	vtoclbg 3512	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  ωcom 7806  rankcrnk 9673   Hf chf 36315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-r1 9674  df-rank 9675  df-hf 36316

This theorem is referenced by:  hfun  36321  hfsn  36322  hfelhf  36324  hfuni  36327  hfpw  36328  hfninf  36329