Theorem elhf2g 33247

Description: Hereditarily finiteness via rank. Closed form of elhf2 33246. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elhf2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))

Proof of Theorem elhf2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2870	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ Hf ))
2		fveq2 6538	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rank‘𝑥) = (rank‘𝐴))
3	2	eleq1d 2867	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rank‘𝑥) ∈ ω ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
4		vex 3440	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elhf2 33246	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Hf ↔ (rank‘𝑥) ∈ ω)
6	1, 3, 5	vtoclbg 3511	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6225  ωcom 7436  rankcrnk 9038   Hf chf 33243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-reg 8902  ax-inf2 8950

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-r1 9039  df-rank 9040  df-hf 33244

This theorem is referenced by:  hfun  33249  hfsn  33250  hfelhf  33252  hfuni  33255  hfpw  33256  hfninf  33257