Theorem weisoeq2 7365

Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso2 7977. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
weisoeq2	⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 7337	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		isocnv 7337	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐺 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3	1, 2	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐺 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)))
4		weisoeq 7364	. . 3 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐺 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → ◡𝐹 = ◡𝐺)
5	3, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → ◡𝐹 = ◡𝐺)
6		simprl 783	. . . 4 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
7		isof1o 7330	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
8		f1orel 6827	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
9	6, 7, 8	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → Rel 𝐹)
10		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
11		isof1o 7330	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1orel 6827	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐺)
13	10, 11, 12	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → Rel 𝐺)
14		cnveqb 6197	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ◡𝐹 = ◡𝐺))
15	9, 13, 14	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ◡𝐹 = ◡𝐺))
16	5, 15	mpbird 260	1 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   Se wse 5614   We wwe 5615  ^◡ccnv 5662  Rel wrel 5668  –1-1-onto→wf1o 6539   Isom wiso 6541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549

This theorem is used by:  wemoiso2  7977