Theorem weisoeq2 7331

Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso2 7953. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
weisoeq2	⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 7305	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2		isocnv 7305	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐺 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3	1, 2	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐺 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)))
4		weisoeq 7330	. . 3 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ ◡𝐺 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → ◡𝐹 = ◡𝐺)
5	3, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → ◡𝐹 = ◡𝐺)
6		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
7		isof1o 7298	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
8		f1orel 6803	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐹)
9	6, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → Rel 𝐹)
10		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
11		isof1o 7298	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵)
12		f1orel 6803	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 → Rel 𝐺)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → Rel 𝐺)
14		cnveqb 6169	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ Rel 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ◡𝐹 = ◡𝐺))
15	9, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ◡𝐹 = ◡𝐺))
16	5, 15	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑆 We 𝐵 ∧ 𝑆 Se 𝐵) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   Se wse 5589   We wwe 5590  ^◡ccnv 5637  Rel wrel 5643  –1-1-onto→wf1o 6510   Isom wiso 6512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520

This theorem is referenced by:  wemoiso2  7953