MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  weisoeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem weisoeq 7101
Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso 7669. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weisoeq (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isocnv 7076 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3 isotr 7082 . . . 4 ((𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
41, 2, 3syl2anr 599 . . 3 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
5 weniso 7100 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
653expa 1115 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
74, 6sylan2 595 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
8 simprl 770 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
9 isof1o 7069 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
10 f1of1 6605 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
12 simprr 772 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
13 isof1o 7069 . . . 4 (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐵)
14 f1of1 6605 . . . 4 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵)
1512, 13, 143syl 18 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺:𝐴1-1𝐵)
16 f1eqcocnv 7049 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
1711, 15, 16syl2anc 587 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
187, 17mpbird 260 1 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538   I cid 5446   Se wse 5499   We wwe 5500  ccnv 5541  cres 5544  ccom 5546  1-1wf1 6340  1-1-ontowf1o 6342   Isom wiso 6344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352
This theorem is referenced by:  weisoeq2  7102  wemoiso  7669  oieu  9000
  Copyright terms: Public domain W3C validator