Theorem weisoeq 7354

Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso 7962. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
weisoeq	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		isocnv 7329	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3		isotr 7335	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
5		weniso 7353	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
6	5	3expa 1116	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
7	4, 6	sylan2 591	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
8		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
9		isof1o 7322	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
10		f1of1 6831	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
12		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
13		isof1o 7322	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵)
14		f1of1 6831	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐴–1-1→𝐵)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺:𝐴–1-1→𝐵)
16		f1eqcocnv 7301	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
17	11, 15, 16	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
18	7, 17	mpbird 256	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   I cid 5572   Se wse 5628   We wwe 5629  ^◡ccnv 5674   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  –1-1→wf1 6539  –1-1-onto→wf1o 6541   Isom wiso 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551

This theorem is referenced by:  weisoeq2  7355  wemoiso  7962  oieu  9536