Theorem weisoeq 7382

Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso 8006. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
weisoeq	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		isocnv 7357	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3		isotr 7363	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
5		weniso 7381	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
6	5	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
7	4, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
8		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
9		isof1o 7350	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
10		f1of1 6855	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
12		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
13		isof1o 7350	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵)
14		f1of1 6855	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐴–1-1→𝐵)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺:𝐴–1-1→𝐵)
16		f1eqcocnv 7328	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
18	7, 17	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   I cid 5586   Se wse 5643   We wwe 5644  ^◡ccnv 5692   ↾ cres 5695   ∘ ccom 5697  –1-1→wf1 6566  –1-1-onto→wf1o 6568   Isom wiso 6570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578

This theorem is referenced by:  weisoeq2  7383  wemoiso  8006  oieu  9586