Theorem weisoeq 7332

Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso 7954. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
weisoeq	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		isocnv 7307	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3		isotr 7313	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ ◡𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
5		weniso 7331	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
6	5	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
7	4, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
8		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
9		isof1o 7300	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
10		f1of1 6801	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
12		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
13		isof1o 7300	. . . 4 ⊢ (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵)
14		f1of1 6801	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐴–1-1→𝐵)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺:𝐴–1-1→𝐵)
16		f1eqcocnv 7278	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
17	11, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
18	7, 17	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   I cid 5534   Se wse 5591   We wwe 5592  ^◡ccnv 5639   ↾ cres 5642   ∘ ccom 5644  –1-1→wf1 6510  –1-1-onto→wf1o 6512   Isom wiso 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522

This theorem is referenced by:  weisoeq2  7333  wemoiso  7954  oieu  9498