Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  weisoeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem weisoeq 7087
 Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso 7658. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weisoeq (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isocnv 7062 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3 isotr 7068 . . . 4 ((𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
41, 2, 3syl2anr 599 . . 3 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
5 weniso 7086 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
653expa 1115 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
74, 6sylan2 595 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
8 simprl 770 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
9 isof1o 7055 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
10 f1of1 6589 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
12 simprr 772 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
13 isof1o 7055 . . . 4 (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐵)
14 f1of1 6589 . . . 4 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵)
1512, 13, 143syl 18 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺:𝐴1-1𝐵)
16 f1eqcocnv 7035 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
1711, 15, 16syl2anc 587 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
187, 17mpbird 260 1 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   I cid 5424   Se wse 5476   We wwe 5477  ◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  –1-1→wf1 6321  –1-1-onto→wf1o 6323   Isom wiso 6325 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333 This theorem is referenced by:  weisoeq2  7088  wemoiso  7658  oieu  8989
 Copyright terms: Public domain W3C validator