MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem3 9558
Description: Lemma for ordtype 9570. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑀   𝑅,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem3
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹))
21elin2d 4215 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑀 ∈ dom 𝐹)
3 ordtypelem.1 . . . . 5 𝐹 = recs(𝐺)
43tfr2a 8434 . . . 4 (𝑀 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑀) = (𝐺‘(𝐹𝑀)))
52, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) = (𝐺‘(𝐹𝑀)))
63tfr1a 8433 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
76simpri 485 . . . . . . . 8 Lim dom 𝐹
8 limord 6446 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 Ord dom 𝐹
10 ordelord 6408 . . . . . . 7 ((Ord dom 𝐹𝑀 ∈ dom 𝐹) → Ord 𝑀)
119, 2, 10sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → Ord 𝑀)
123tfr2b 8435 . . . . . 6 (Ord 𝑀 → (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹𝑀) ∈ V))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹𝑀) ∈ V))
142, 13mpbid 232 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ V)
15 ordtypelem.2 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
16 rneq 5950 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐹𝑀) → ran = ran (𝐹𝑀))
17 df-ima 5702 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑀) = ran (𝐹𝑀)
1816, 17eqtr4di 2793 . . . . . . . . 9 ( = (𝐹𝑀) → ran = (𝐹𝑀))
1918raleqdv 3324 . . . . . . . 8 ( = (𝐹𝑀) → (∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤))
2019rabbidv 3441 . . . . . . 7 ( = (𝐹𝑀) → {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤} = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤})
2115, 20eqtrid 2787 . . . . . 6 ( = (𝐹𝑀) → 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤})
2221raleqdv 3324 . . . . . 6 ( = (𝐹𝑀) → (∀𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
2321, 22riotaeqbidv 7391 . . . . 5 ( = (𝐹𝑀) → (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
24 ordtypelem.3 . . . . 5 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
25 riotaex 7392 . . . . 5 (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 7016 . . . 4 ((𝐹𝑀) ∈ V → (𝐺‘(𝐹𝑀)) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
2714, 26syl 17 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐺‘(𝐹𝑀)) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
285, 27eqtrd 2775 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
29 ordtypelem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 We 𝐴)
3029adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑅 We 𝐴)
31 ordtypelem.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
3231adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑅 Se 𝐴)
33 ssrab2 4090 . . . . 5 {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ⊆ 𝐴
3433a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ⊆ 𝐴)
351elin1d 4214 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑀𝑇)
36 imaeq2 6076 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
3736raleqdv 3324 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
3837rexbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
39 ordtypelem.5 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
4038, 39elrab2 3698 . . . . . . . 8 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ On ∧ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
4140simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑀𝑇 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡)
4235, 41syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡)
43 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗𝑅𝑤𝑧𝑅𝑤))
4443cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑤)
45 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑡 → (𝑧𝑅𝑤𝑧𝑅𝑡))
4645ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑡 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
4744, 46bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
4847cbvrexvw 3236 . . . . . 6 (∃𝑤𝐴𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡)
4942, 48sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → ∃𝑤𝐴𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤)
50 rabn0 4395 . . . . 5 ({𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤)
5149, 50sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ≠ ∅)
52 wereu2 5686 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ ({𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ≠ ∅)) → ∃!𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣)
5330, 32, 34, 51, 52syl22anc 839 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → ∃!𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣)
54 riotacl2 7404 . . 3 (∃!𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣 → (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
5553, 54syl 17 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
5628, 55eqeltrd 2839 1 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  {crab 3433  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Se wse 5639   We wwe 5640  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  Ord word 6385  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  Fun wfun 6557  cfv 6563  crio 7387  recscrecs 8409  OrdIsocoi 9547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410
This theorem is referenced by:  ordtypelem4  9559  ordtypelem6  9561  ordtypelem7  9562
  Copyright terms: Public domain W3C validator