MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtypelem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtypelem3 8634
Description: Lemma for ordtype 8646. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1 𝐹 = recs(𝐺)
ordtypelem.2 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
ordtypelem.3 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
ordtypelem.5 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
ordtypelem.6 𝑂 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
ordtypelem.7 (𝜑𝑅 We 𝐴)
ordtypelem.8 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtypelem3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝐶   ,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧,𝑀   𝑅,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝐴,,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑡,𝑂,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   ,𝐹,𝑗,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,,𝑗)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,,𝑗)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,,𝑗)   𝑂(𝑧,𝑤,,𝑗)

Proof of Theorem ordtypelem3
StepHypRef Expression
1 inss2 3995 . . . . 5 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹))
31, 2sseldi 3761 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑀 ∈ dom 𝐹)
4 ordtypelem.1 . . . . 5 𝐹 = recs(𝐺)
54tfr2a 7697 . . . 4 (𝑀 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑀) = (𝐺‘(𝐹𝑀)))
63, 5syl 17 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) = (𝐺‘(𝐹𝑀)))
74tfr1a 7696 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 ∧ Lim dom 𝐹)
87simpri 479 . . . . . . . 8 Lim dom 𝐹
9 limord 5969 . . . . . . . 8 (Lim dom 𝐹 → Ord dom 𝐹)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 Ord dom 𝐹
11 ordelord 5932 . . . . . . 7 ((Ord dom 𝐹𝑀 ∈ dom 𝐹) → Ord 𝑀)
1210, 3, 11sylancr 581 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → Ord 𝑀)
134tfr2b 7698 . . . . . 6 (Ord 𝑀 → (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹𝑀) ∈ V))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝑀 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝐹𝑀) ∈ V))
153, 14mpbid 223 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ V)
16 ordtypelem.2 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤}
17 rneq 5521 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐹𝑀) → ran = ran (𝐹𝑀))
18 df-ima 5292 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑀) = ran (𝐹𝑀)
1917, 18syl6eqr 2817 . . . . . . . . 9 ( = (𝐹𝑀) → ran = (𝐹𝑀))
2019raleqdv 3292 . . . . . . . 8 ( = (𝐹𝑀) → (∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤))
2120rabbidv 3338 . . . . . . 7 ( = (𝐹𝑀) → {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ ran 𝑗𝑅𝑤} = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤})
2216, 21syl5eq 2811 . . . . . 6 ( = (𝐹𝑀) → 𝐶 = {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤})
2322raleqdv 3292 . . . . . 6 ( = (𝐹𝑀) → (∀𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
2422, 23riotaeqbidv 6808 . . . . 5 ( = (𝐹𝑀) → (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
25 ordtypelem.3 . . . . 5 𝐺 = ( ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑅𝑣))
26 riotaex 6809 . . . . 5 (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣) ∈ V
2724, 25, 26fvmpt 6473 . . . 4 ((𝐹𝑀) ∈ V → (𝐺‘(𝐹𝑀)) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
2815, 27syl 17 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐺‘(𝐹𝑀)) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
296, 28eqtrd 2799 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) = (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣))
30 ordtypelem.7 . . . . 5 (𝜑𝑅 We 𝐴)
3130adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑅 We 𝐴)
32 ordtypelem.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 Se 𝐴)
3332adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑅 Se 𝐴)
34 ssrab2 3849 . . . . 5 {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ⊆ 𝐴
3534a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ⊆ 𝐴)
36 inss1 3994 . . . . . . . 8 (𝑇 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑇
3736, 2sseldi 3761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → 𝑀𝑇)
38 imaeq2 5646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
3938raleqdv 3292 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
4039rexbidv 3199 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡 ↔ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
41 ordtypelem.5 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑥 ∈ On ∣ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑥)𝑧𝑅𝑡}
4240, 41elrab2 3525 . . . . . . . 8 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀 ∈ On ∧ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
4342simprbi 490 . . . . . . 7 (𝑀𝑇 → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡)
4437, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡)
45 breq1 4814 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗𝑅𝑤𝑧𝑅𝑤))
4645cbvralv 3319 . . . . . . . 8 (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑤)
47 breq2 4815 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑡 → (𝑧𝑅𝑤𝑧𝑅𝑡))
4847ralbidv 3133 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑡 → (∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
4946, 48syl5bb 274 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → (∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡))
5049cbvrexv 3320 . . . . . 6 (∃𝑤𝐴𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤 ↔ ∃𝑡𝐴𝑧 ∈ (𝐹𝑀)𝑧𝑅𝑡)
5144, 50sylibr 225 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → ∃𝑤𝐴𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤)
52 rabn0 4124 . . . . 5 ({𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤)
5351, 52sylibr 225 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ≠ ∅)
54 wereu2 5276 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ ({𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ≠ ∅)) → ∃!𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣)
5531, 33, 35, 53, 54syl22anc 867 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → ∃!𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣)
56 riotacl2 6818 . . 3 (∃!𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣 → (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
5755, 56syl 17 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤}∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
5829, 57eqeltrd 2844 1 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑇 ∩ dom 𝐹)) → (𝐹𝑀) ∈ {𝑣 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ∣ ∀𝑢 ∈ {𝑤𝐴 ∣ ∀𝑗 ∈ (𝐹𝑀)𝑗𝑅𝑤} ¬ 𝑢𝑅𝑣})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  ∃!wreu 3057  {crab 3059  Vcvv 3350  cin 3733  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  cmpt 4890   Se wse 5236   We wwe 5237  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  cima 5282  Ord word 5909  Oncon0 5910  Lim wlim 5911  Fun wfun 6064  cfv 6070  crio 6804  recscrecs 7673  OrdIsocoi 8623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-wrecs 7612  df-recs 7674
This theorem is referenced by:  ordtypelem4  8635  ordtypelem6  8637  ordtypelem7  8638
  Copyright terms: Public domain W3C validator