Theorem wlkon2n0 29641

Description: The length of a walk between two different vertices is not 0 (i.e. is at least 1). (Contributed by AV, 3-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkon2n0	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘𝐹) ≠ 0)

Proof of Theorem wlkon2n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 29633	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3		fveqeq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
4	3	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
5		eqtr2 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
6		nne 2932	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵)
8	4, 7	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
9	8	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
10	9	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
11	10	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
12	2, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12	necon2ad 2943	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	13	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘𝐹) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  ♯chash 14234  Vtxcvtx 28972  Walkscwlks 29573  WalksOncwlkson 29574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-wlkson 29577

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  30170