Theorem wlkon2n0 29750

Description: The length of a walk between two different vertices is not 0 (i.e. is at least 1). (Contributed by AV, 3-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkon2n0	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘𝐹) ≠ 0)

Proof of Theorem wlkon2n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 29742	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3		fveqeq2 6851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
4	3	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
5		eqtr2 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
6		nne 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵)
8	4, 7	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
9	8	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
10	9	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
11	10	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
12	2, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12	necon2ad 2948	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	13	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘𝐹) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  ♯chash 14265  Vtxcvtx 29081  Walkscwlks 29682  WalksOncwlkson 29683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-wlkson 29686

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  30282