Theorem wlkon2n0 28031

Description: The length of a walk between two different vertices is not 0 (i.e. is at least 1). (Contributed by AV, 3-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkon2n0	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘𝐹) ≠ 0)

Proof of Theorem wlkon2n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 28023	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3		fveqeq2 6780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘0) = 𝐵))
4	3	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵)))
5		eqtr2 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
6		nne 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵)
7	5, 6	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘0) = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵)
8	4, 7	syl6bi 252	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
9	8	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
10	9	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
11	10	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
12	2, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 0 → ¬ 𝐴 ≠ 𝐵))
13	12	necon2ad 2960	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	13	imp 407	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘𝐹) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  Vcvv 3431   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  ♯chash 14042  Vtxcvtx 27364  Walkscwlks 27961  WalksOncwlkson 27962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-hash 14043  df-word 14216  df-wlks 27964  df-wlkson 27965

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  28555