MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlklem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlklem 29501
Description: Lemma for theorems for walks of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlklem (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2wlklem
StepHypRef Expression
1 c0ex 11246 . 2 0 ∈ V
2 1ex 11248 . 2 1 ∈ V
3 2fveq3 6907 . . 3 (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
4 fveq2 6902 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
5 fv0p1e1 12373 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
64, 5preq12d 4750 . . 3 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
73, 6eqeq12d 2744 . 2 (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
8 2fveq3 6907 . . 3 (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
9 fveq2 6902 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
10 oveq1 7433 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
11 1p1e2 12375 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1210, 11eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
1312fveq2d 6906 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
149, 13preq12d 4750 . . 3 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
158, 14eqeq12d 2744 . 2 (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
161, 2, 7, 15ralpr 4709 1 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wral 3058  {cpr 4634  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  2c2 12305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-2 12313
This theorem is referenced by:  upgr2wlk  29502  usgr2wlkneq  29590  usgr2trlncl  29594  usgr2pthlem  29597  usgr2pth  29598  uspgrn2crct  29639  wlk2v2elem2  29986
  Copyright terms: Public domain W3C validator