Theorem 2wlklem 26798

Description: Lemma for theorems for walks of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2wlklem	⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2wlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10240	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 10241	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		fveq2 6333	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
4	3	fveq2d 6337	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
5		fveq2 6333	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
6		fv0p1e1 11339	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
7	5, 6	preq12d 4413	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
8	4, 7	eqeq12d 2786	. 2 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
9		fveq2 6333	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
10	9	fveq2d 6337	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
11		fveq2 6333	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
12		oveq1 6803	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
13		1p1e2 11341	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
14	12, 13	syl6eq 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
15	14	fveq2d 6337	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
16	11, 15	preq12d 4413	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
17	10, 16	eqeq12d 2786	. 2 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
18	1, 2, 8, 17	ralpr 4376	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  ∀wral 3061  {cpr 4319  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  2c2 11276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-2 11285

This theorem is referenced by:  upgr2wlk  26799  usgr2wlkneq  26887  usgr2trlncl  26891  usgr2pthlem  26894  usgr2pth  26895  uspgrn2crct  26936  wlk2v2elem2  27336