Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlklem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlklem 27464
 Description: Lemma for theorems for walks of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlklem (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2wlklem
StepHypRef Expression
1 c0ex 10626 . 2 0 ∈ V
2 1ex 10628 . 2 1 ∈ V
3 2fveq3 6650 . . 3 (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
4 fveq2 6645 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
5 fv0p1e1 11750 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
64, 5preq12d 4637 . . 3 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
73, 6eqeq12d 2814 . 2 (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
8 2fveq3 6650 . . 3 (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
9 fveq2 6645 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
10 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
11 1p1e2 11752 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1210, 11eqtrdi 2849 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
1312fveq2d 6649 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
149, 13preq12d 4637 . . 3 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
158, 14eqeq12d 2814 . 2 (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
161, 2, 7, 15ralpr 4596 1 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∀wral 3106  {cpr 4527  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531  2c2 11682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-ltxr 10671  df-2 11690 This theorem is referenced by:  upgr2wlk  27465  usgr2wlkneq  27552  usgr2trlncl  27556  usgr2pthlem  27559  usgr2pth  27560  uspgrn2crct  27601  wlk2v2elem2  27948
 Copyright terms: Public domain W3C validator