Theorem 2wlklem 29751

Description: Lemma for theorems for walks of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2wlklem	⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2wlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11138	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 11140	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		2fveq3 6847	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
4		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
5		fv0p1e1 12275	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
6	4, 5	preq12d 4700	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
7	3, 6	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
8		2fveq3 6847	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
9		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
10		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
11		1p1e2 12277	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
13	12	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
14	9, 13	preq12d 4700	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
15	8, 14	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
16	1, 2, 7, 15	ralpr 4659	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∀wral 3052  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  2c2 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-2 12220

This theorem is referenced by:  upgr2wlk  29752  usgr2wlkneq  29841  usgr2trlncl  29845  usgr2pthlem  29848  usgr2pth  29849  uspgrn2crct  29893  wlk2v2elem2  30243