Theorem 2wlklem 29739

Description: Lemma for theorems for walks of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2wlklem	⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2wlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11126	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 11128	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		2fveq3 6839	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
4		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
5		fv0p1e1 12263	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
6	4, 5	preq12d 4698	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
7	3, 6	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
8		2fveq3 6839	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
9		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
10		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
11		1p1e2 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
12	10, 11	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
13	12	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
14	9, 13	preq12d 4698	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
15	8, 14	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
16	1, 2, 7, 15	ralpr 4657	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∀wral 3051  {cpr 4582  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  2c2 12200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-2 12208

This theorem is referenced by:  upgr2wlk  29740  usgr2wlkneq  29829  usgr2trlncl  29833  usgr2pthlem  29836  usgr2pth  29837  uspgrn2crct  29881  wlk2v2elem2  30231