MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlklem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlklem 26909
Description: Lemma for theorems for walks of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlklem (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2wlklem
StepHypRef Expression
1 c0ex 10321 . 2 0 ∈ V
2 1ex 10323 . 2 1 ∈ V
3 2fveq3 6415 . . 3 (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
4 fveq2 6410 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
5 fv0p1e1 11440 . . . 4 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
64, 5preq12d 4464 . . 3 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
73, 6eqeq12d 2813 . 2 (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
8 2fveq3 6415 . . 3 (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
9 fveq2 6410 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
10 oveq1 6884 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
11 1p1e2 11442 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1210, 11syl6eq 2848 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
1312fveq2d 6414 . . . 4 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
149, 13preq12d 4464 . . 3 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
158, 14eqeq12d 2813 . 2 (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
161, 2, 7, 15ralpr 4427 1 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wral 3088  {cpr 4369  cfv 6100  (class class class)co 6877  0cc0 10223  1c1 10224   + caddc 10226  2c2 11365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4628  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-ov 6880  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-ltxr 10367  df-2 11373
This theorem is referenced by:  upgr2wlk  26910  usgr2wlkneq  27003  usgr2trlncl  27007  usgr2pthlem  27010  usgr2pth  27011  uspgrn2crct  27052  wlk2v2elem2  27493
  Copyright terms: Public domain W3C validator