Theorem wlkonl1iedg 30073

Description: If there is a walk between two vertices 𝐴 and 𝐵 at least of length 1, then the start vertex 𝐴 is incident with an edge. (Contributed by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkonl1iedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkonl1iedg	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑒)

Proof of Theorem wlkonl1iedg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 30066	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
4		fv0p1e1 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
5	3, 4	preq12d 4709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
6	5	sseq1d 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
7	6	rexbidv 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
8		wlkonl1iedg.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	8	wlkvtxiedg 30034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
12		wlkcl 30025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		elnnne0 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	13	simplbi2 506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
15		lbfzo0 13747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
16	14, 15	imbitrrdi 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17	12, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
18	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
19	18	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
20	7, 11, 19	rspcdva 3584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
21		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
22		fvex 6898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
23	21, 22	prss 4788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
24		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ↔ 𝐴 ∈ 𝑒))
25		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
26	24, 25	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
28	27	impd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) → 𝐴 ∈ 𝑒))
29	23, 28	biimtrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
30	29	reximdv 3182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
32	20, 31	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)
33	32	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
35	34	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
36	2, 35	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
37	36	imp 412	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {cpr 4593   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Vtxcvtx 29403  iEdgciedg 29404  Walkscwlks 30006  WalksOncwlkson 30007

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-wlks 30009  df-wlkson 30010

This theorem is used by:  conngrv2edg  30619