Theorem wlkonl1iedg 29864

Description: If there is a walk between two vertices 𝐴 and 𝐵 at least of length 1, then the start vertex 𝐴 is incident with an edge. (Contributed by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkonl1iedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkonl1iedg	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑒)

Proof of Theorem wlkonl1iedg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 29857	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3		fveq2 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
4		fv0p1e1 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
5	3, 4	preq12d 4700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
6	5	sseq1d 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
7	6	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
8		wlkonl1iedg.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	8	wlkvtxiedg 29825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
11	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
12		wlkcl 29816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		elnnne0 12495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	13	simplbi2 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
15		lbfzo0 13705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
16	14, 15	imbitrrdi 254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
18	17	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
19	18	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
20	7, 11, 19	rspcdva 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
21		fvex 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
22		fvex 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
23	21, 22	prss 4778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
24		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ↔ 𝐴 ∈ 𝑒))
25		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
26	24, 25	biimtrdi 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
28	27	impd 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) → 𝐴 ∈ 𝑒))
29	23, 28	biimtrrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
30	29	reximdv 3177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
32	20, 31	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)
33	32	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
34	33	3adant3 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
35	34	3ad2ant3 1148	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
36	2, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
37	36	imp 410	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {cpr 4584   class class class wbr 5100  ran crn 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ..^cfzo 13659  ♯chash 14343  Vtxcvtx 29197  iEdgciedg 29198  Walkscwlks 29797  WalksOncwlkson 29798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-wlks 29800  df-wlkson 29801

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  30397