Theorem wlkonl1iedg 27607

Description: If there is a walk between two vertices 𝐴 and 𝐵 at least of length 1, then the start vertex 𝐴 is incident with an edge. (Contributed by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkonl1iedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkonl1iedg	⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑒)

Proof of Theorem wlkonl1iedg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkonprop 27600	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
3		fveq2 6674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
4		fv0p1e1 11839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
5	3, 4	preq12d 4632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
6	5	sseq1d 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
7	6	rexbidv 3207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒))
8		wlkonl1iedg.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
9	8	wlkvtxiedg 27566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
11	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
12		wlkcl 27557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		elnnne0 11990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0))
14	13	simplbi2 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
15		lbfzo0 13168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
16	14, 15	syl6ibr 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
18	17	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
19	18	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
20	7, 11, 19	rspcdva 3528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
21		fvex 6687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
22		fvex 6687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘1) ∈ V
23	21, 22	prss 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒)
24		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ↔ 𝐴 ∈ 𝑒))
25		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
26	24, 25	syl6bi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
27	26	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑒 → ((𝑃‘1) ∈ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒)))
28	27	impd 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (((𝑃‘0) ∈ 𝑒 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑒) → 𝐴 ∈ 𝑒))
29	23, 28	syl5bir 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → 𝐴 ∈ 𝑒))
30	29	reximdv 3183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
31	30	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ 𝑒 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
32	20, 31	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)
33	32	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
34	33	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
35	34	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
36	2, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒))
37	36	imp 410	1 ⊢ ((𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼 𝐴 ∈ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3054  Vcvv 3398   ⊆ wss 3843  {cpr 4518   class class class wbr 5030  ran crn 5526  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618  ℕcn 11716  ℕ₀cn0 11976  ..^cfzo 13124  ♯chash 13782  Vtxcvtx 26941  iEdgciedg 26942  Walkscwlks 27538  WalksOncwlkson 27539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-wlks 27541  df-wlkson 27542

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  28132