Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkonprop 27492
 Description: Properties of a walk between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.) (Revised by AV, 31-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Jan-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkson.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wlkonprop (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))

Proof of Theorem wlkonprop
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkson.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21fvexi 6669 . . . . 5 𝑉 ∈ V
3 df-wlkson 27434 . . . . . 6 WalksOn = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝑔), 𝑏 ∈ (Vtx‘𝑔) ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)}))
41wlkson 27490 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐵)})
543adant1 1127 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐵)})
6 fveq2 6655 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
76, 1eqtr4di 2851 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
8 fveq2 6655 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (Walks‘𝑔) = (Walks‘𝐺))
98breqd 5045 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓(Walks‘𝑔)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝))
1093anbi1d 1437 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑓(Walks‘𝑔)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
113, 5, 7, 7, 10bropfvvvv 7783 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))))
122, 2, 11mp2an 691 . . . 4 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
13 3anass 1092 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)))
1413anbi1i 626 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
15 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1614, 15bitr4i 281 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
1712, 16sylibr 237 . . 3 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
181iswlkon 27491 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
19183adantl1 1163 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
2019biimpd 232 . . . 4 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
2120imdistani 572 . . 3 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
2217, 21mpancom 687 . 2 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
23 df-3an 1086 . 2 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) ↔ (((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
2422, 23sylibr 237 1 (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐵)𝑃 → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442   class class class wbr 5034  {copab 5096  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  ♯chash 13706  Vtxcvtx 26833  Walkscwlks 27430  WalksOncwlkson 27431 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-hash 13707  df-word 13878  df-wlks 27433  df-wlkson 27434 This theorem is referenced by:  wlkoniswlk  27495  wlksoneq1eq2  27498  wlkonl1iedg  27499  wlkon2n0  27500  spthonepeq  27585  uhgrwkspth  27588  usgr2wlkspth  27592
 Copyright terms: Public domain W3C validator